本文档介绍域论和伽罗瓦理论，包括域扩张、代数元、超越元、扩域次数、分裂域以及伽罗瓦理论的基本概念等内容。

域

Definition（域） 一个域是一个集合$F$配上两个二元运算：加法$+$和乘法$\cdot$，满足：

1. $(F, +)$是阿贝尔群（单位元记作$0$）
2. $(F \setminus {0}, \cdot)$是阿贝尔群（单位元记作$1$）
3. 乘法对加法满足分配律：对任意$a,b,c \in F$，$a(b+c) = ab + ac$

注记：

• 域是交换除环
• 域中每个非零元素都有乘法逆元
• 域的特征要么是$0$，要么是素数

Example 数域$K$是$\mathbb{C}$的子域。

Example（域的例子）

1. $\mathbb{Q}$：有理数域
2. $\mathbb{R}$：实数域
3. $\mathbb{C}$：复数域
4. $\mathbb{F}_p$：$p$个元素的有限域，其中$p$是素数
5. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = {a + b\sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q}}$：$\mathbb{Q}$的二次扩张
6. $F(x)$：域$F$上关于变量$x$的有理函数域
7. $\mathbb{Q}(\pi)$：由$\pi$生成的$\mathbb{R}$的子域

Definition 设$K$是域$F$的扩张，设$\alpha$是$K$的一个元素。类似于代数数的定义，如果$\alpha$是$F$中系数的首一多项式的根，比如说 \(f(x) = x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots + a_0,\) 其中$a_i$在$F$中且$f(\alpha) = 0$，则称$\alpha$在$F$上是代数的。如果一个元素不是$F$上的代数元，则称其为超越元。

域扩张

Proposition（域同态的性质） 设$F$为域，$R$为环且$R \neq 0$。

1. 从$F$到$R$的每个环同态$\varphi: F \to R$都是单射。

Proof. 设$\varphi: F \to R$是环同态。由于$\varphi(1_F) = 1_R \neq 0_R$（因为$R \neq 0$），$\ker(\varphi) \neq F$。由于$F$的唯一理想是$(0)$和$F$，所以$\ker(\varphi) = (0)$，因此$\varphi$是单射。

1. 考虑规范映射$\varphi:\mathbb{Z}\to F$。由于$\ker \varphi$是$\mathbb{Z}$的理想，$\ker \varphi = (n)$对某个$n \geq 0$。由于$\mathbb{Z}/\ker\varphi$是整环（因为$F$是域），$\ker \varphi$是素理想，所以$\ker \varphi = (0)$或$(p)$（$p$是素数）。

Definition（域扩张） 域扩张$K/F$意味着：$F\hookrightarrow K$（$F$是$K$的子域）。注意$K$是一个$F$-向量空间，因此$[K:F]:=\dim_F K$为扩张次数。如果域扩张的扩张次数是有限的，则称其为有限扩张；如果$[K:F] = n$，则称其为$n$次有限扩张。否则扩张是无限的。

$F\hookrightarrow M\hookrightarrow K$（即$F \subseteq M \subseteq K$）称为$K/F$的中间域扩张。

Definition（素域） 设$F$是域。$F$的素域是$F$的最小子域，即包含$F$的所有子域的交集。

• 如果$\ker(\varphi: \mathbb{Z} \to F) = (0)$，则$\mathbb{Q} \cong \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) \hookrightarrow F$，此时$\mathbb{Q}$是$F$的素域，称$F$的特征为$0$。
• 如果$\ker(\varphi: \mathbb{Z} \to F) = (p)$（$p$是素数），则$\mathbb{F}_p \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \hookrightarrow F$，此时$\mathbb{F}_p$是$F$的素域，称$F$的特征为$p$。

Definition（代数元和超越元） 设$K/F$是域扩张，$\alpha \in K$。

• 如果存在非零多项式$f(x) \in F[x]$使得$f(\alpha) = 0$，则称$\alpha$在$F$上是代数的。
• 等价地，如果存在首一多项式$f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$，其中$a_i \in F$且$f(\alpha) = 0$，则称$\alpha$在$F$上是代数的。
• 如果$\alpha$不是$F$上的代数元，则称其为超越元。

Definition（极小多项式） 设$\alpha$是$F$的扩域$K$中的代数元。$\alpha$在$F$上的极小多项式$m_{\alpha,F}(x)$是满足以下条件的唯一多项式：

1. $m_{\alpha,F}(\alpha) = 0$
2. $m_{\alpha,F}(x)$是首一多项式
3. $m_{\alpha,F}(x)$是满足条件1的最小次数的多项式
4. $m_{\alpha,F}(x)$在$F[x]$中不可约

Proposition（域扩张次数的性质） 设$K/F$是域扩张。 (1) $[K:F] = 1$当且仅当$K=F$。 (2) （塔定律）设$K/M/F$是域扩张链，则$[K:F]=[K:M][M:F]$。

Proof. (1) 如果$K=F$，则$K$作为$F$-向量空间的维数显然是$1$。反之，如果$[K:F]=1$，则$K$由单个元素生成，这意味着$K=F$。

(2) 设${v_1, \ldots, v_n}$是$K$作为$M$-向量空间的基，${w_1, \ldots, w_m}$是$M$作为$F$-向量空间的基。则${v_i w_j : 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$是$K$作为$F$-向量空间的基，所以$[K:F] = nm = [K:M][M:F]$。

Definition（添加元素） 设$K/F$是域扩张，$\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K$。 $F(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\subset K$是包含$F$和$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$的$K$的最小子域，称为由$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$在$F$上生成的域扩张。 特别地，$F(\alpha)/F$被称为单扩张。

Remark 称$\alpha$是$F(\alpha)/F$的本原元素。

Theorem（单扩张的结构） 设$K/F$是域扩张，$\alpha \in K$，则存在唯一的环同态$\varphi_\alpha:F[x]\to K$使得$\varphi_\alpha (x) = \alpha$。

根据$\ker \varphi_\alpha$的不同情况，我们有：

情况1. $\ker \varphi_\alpha = (0)$（即$\alpha$是超越元）。 则$\varphi_\alpha$是单射，所以$F[x] \cong \varphi_\alpha(F[x]) \subseteq K$。 进一步地，$\varphi_\alpha$可以扩展为$F(x) \to F(\alpha)$的同构，所以$F(\alpha) \cong F(x)$（有理函数域）。 在这种情况下，$[F(\alpha):F] = \infty$。

情况2. $\ker \varphi_\alpha = (p(x))$，其中$p(x)$是$F[x]$中的非常数不可约多项式（即$\alpha$是代数元）。 则$F[x]/(p(x)) \cong \varphi_\alpha(F[x]) \subseteq K$。 由于$F[x]/(p(x))$是域（因为$p(x)$不可约），我们有$F(\alpha) = F[x]/(p(x))$。 在这种情况下，$[F(\alpha):F] = \deg(p(x))$，且$p(x)$是$\alpha$在$F$上的极小多项式。

Proposition（极小多项式的性质） 设$\alpha$是$F$的代数元，$p(x)$是$\alpha$在$F$上的极小多项式，则：

1. $p(x)$在$F[x]$中不可约
2. 若$f(x) \in F[x]$且$f(\alpha) = 0$，则$p(x) \mid f(x)$
3. $[F(\alpha):F] = \deg(p(x))$
4. $F(\alpha) = F[\alpha] = {f(\alpha) : f(x) \in F[x]}$

Proof.

1. 如果$p(x) = g(x)h(x)$，其中$\deg(g), \deg(h) < \deg(p)$，则$0 = p(\alpha) = g(\alpha)h(\alpha)$。由于$K$是域，$g(\alpha) = 0$或$h(\alpha) = 0$，这与$p(x)$是极小多项式矛盾。

2. 由带余除法，$f(x) = q(x)p(x) + r(x)$，其中$\deg(r) < \deg(p)$或$r(x) = 0$。由于$f(\alpha) = p(\alpha) = 0$，我们有$r(\alpha) = 0$。由极小多项式的定义，$r(x) = 0$，所以$p(x) \mid f(x)$。

3. 由单扩张的结构定理。

4. 显然$F[\alpha] \subseteq F(\alpha)$。另一方面，如果$f(\alpha) \neq 0$，则$f(x)$与$p(x)$互素（因为$p(x)$不可约），所以存在$u(x), v(x) \in F[x]$使得$u(x)p(x) + v(x)f(x) = 1$。代入$\alpha$得$v(\alpha)f(\alpha) = 1$，所以$f(\alpha)^{-1} = v(\alpha) \in F[\alpha]$。因此$F(\alpha) \subseteq F[\alpha]$。

代数扩张

Lemma（代数元的运算封闭性） 设$K/F$是域扩张，如果$\alpha,\beta\in K$在$F$上代数，则$\alpha\pm \beta,\alpha\cdot\beta,1/\alpha$（当$\alpha \neq 0$时）和$\beta/\alpha$（当$\alpha \neq 0$时）也在$F$上代数。

Proof. 设$\alpha$和$\beta$分别在$F$上的次数为$m$和$n$，即$[F(\alpha):F] = m$和$[F(\beta):F] = n$。 由于$F \subseteq F(\alpha) \subseteq F(\alpha,\beta)$和$F \subseteq F(\beta) \subseteq F(\alpha,\beta)$，我们有$[F(\alpha,\beta):F] = [F(\alpha,\beta):F(\alpha)][F(\alpha):F] \leq [F(\beta):F][F(\alpha):F] = mn$。 所以$F(\alpha,\beta)$是$F$的有限扩张，因此$\alpha \pm \beta, \alpha\cdot\beta, 1/\alpha, \beta/\alpha$都在$F(\alpha,\beta)$中，它们都是$F$上的代数元。

Definition（代数扩张） 如果对所有$\alpha\in K$，$\alpha$在$F$上是代数的，则称$K/F$是代数扩张。

Proposition（有限扩张是代数扩张） 如果$[K:F]<\infty$，则$K/F$是代数扩张。

Proof. 设$\alpha \in K$，考虑序列$1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^n, \ldots$。由于$[K:F] = n < \infty$，这个序列在$F$上线性相关，即存在不全为零的$a_0, a_1, \ldots, a_m \in F$使得$a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_m\alpha^m = 0$。因此$\alpha$是$F$上的代数元。

Remark 有限扩张一定是代数扩张，但反之不成立。例如，$\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$（代数数域）是代数扩张但不是有限扩张。

Definition（代数闭包） 设$F$是域，$K/F$是域扩张。$K$中所有在$F$上代数的元素构成的集合称为$K$在$F$中的代数闭包，记作$K_{\text{alg}}$。如果$K = K_{\text{alg}}$，则称$K$是$F$的代数闭包。

Definition（代数闭域） 如果域$F$没有真代数扩张（即$F$上的每个非零多项式都有根在$F$中），则称$F$是代数闭的。

Theorem（代数闭包的存在性和唯一性） 每个域$F$都有代数闭包$\overline{F}$，且在$F$-同构的意义下是唯一的。

分裂域和伽罗瓦理论

Definition（分裂域） 设$F$是域，$f(x) \in F[x]$是一个非常数多项式。$f(x)$在$F$上的分裂域是$F$的扩域$K$，满足：

1. $f(x)$在$K[x]$中分裂为一次因子的乘积：$f(x) = c(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$，其中$c \in F$，$\alpha_i \in K$
2. $K = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$（即$K$由$f(x)$的所有根生成）

Theorem（分裂域的存在性和唯一性） 设$f(x) \in F[x]$，则$f(x)$在$F$上的分裂域存在且在$F$-同构的意义下唯一。

Definition（可分多项式） 设$f(x) \in F[x]$，如果$f(x)$在其分裂域中的所有根都不同，则称$f(x)$是可分的。等价地，如果$f(x)$与其形式导数$f’(x)$互素（即$\gcd(f, f’) = 1$），则$f(x)$是可分的。

Definition（正规扩张） 域扩张$K/F$称为正规扩张，如果$K$是$F$上某个多项式的分裂域。

Definition（可分扩张） 域扩张$K/F$称为可分扩张，如果$K$中的每个元素在$F$上的极小多项式都是可分的。

Definition（伽罗瓦扩张） 域扩张$K/F$称为伽罗瓦扩张，如果它是正规且可分的有限扩张。

Definition（伽罗瓦群） 设$K/F$是伽罗瓦扩张，$K/F$的伽罗瓦群定义为： \(\mathrm{Gal}(K/F) = \{\sigma: K \to K \mid \sigma \text{ 是域自同构且 } \sigma|_F = \mathrm{id}_F\}\)

Theorem（伽罗瓦基本定理） 设$K/F$是伽罗瓦扩张，$G = \mathrm{Gal}(K/F)$。则存在一个反序的双射： \(\{\text{中间域 } E \mid F \subseteq E \subseteq K\} \longleftrightarrow \{\text{子群 } H \mid H \leq G\}\) 其中：

• 从中间域到子群： \(E \mapsto \mathrm{Gal}(K/E) = \{\sigma \in G \mid \sigma|_E = \mathrm{id}_E\}\)
• 从子群到中间域： \(H \mapsto K^H = \{x \in K \mid \sigma(x) = x \text{ 对所有 } \sigma \in H\}\)

此外，如果$H \leq G$对应于中间域$E$，则：

1. $[K:E] = |H|$
2. $[E:F] = [G:H]$
3. $H \unlhd G$当且仅当$E/F$是伽罗瓦扩张，且$\mathrm{Gal}(E/F) \cong G/H$

Example（伽罗瓦理论的应用）

1. 三次方程的解：三次方程$x^3 + px + q = 0$的伽罗瓦群决定了它是否可以用根式求解。
2. 五次方程的不可解性：一般的五次方程不能用根式求解，因为其伽罗瓦群是$S_5$，而$S_5$不是可解群。

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