本文档介绍模论的其他主题，包括多元多项式环上的模、整性扩张、代数整数以及相关的模论性质等内容。

其他模

多元多项式环

Theorem 设$V$为多项式环$\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_k]$上的有限生成模，设$A$为$V$的一个$m\times n$表示矩阵。用$A(c)$表示在$\mathbb{C}^k$中一点$c$处对$A$的求值。则$V$是秩为$r$的自由模当且仅当矩阵$A(c)$的秩为$m-r$。

整性元素

回忆$\alpha\in\mathbb{C}$被称为代数整数，如果$\alpha^n+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0=0$。且$\alpha,\beta$为代数整数$\implies$ $\alpha \pm \beta, \alpha \beta$为代数整数。

设$\mathbb{Z}[\alpha]\subset \mathbb{C}$为由$\alpha$生成的子环。

如果$\alpha$是代数整数，则$\mathbb{Z}[\alpha]$（作为$\mathbb{Z}$-模）是有限生成的

Lemma $A\to B$为环同态。$V$为$B$-模。如果$B$作为$A$-模是有限生成的，且$V$是有限生成的$B$-模，则$V$也是有限生成的$A$-模。

Proof. 设$b_1,\ldots,b_m$为$B$作为$A$-模的生成元。设$v_1,\ldots,v_n$为$V$作为$B$-模的生成元。

[Claim]{.underline} ${b_i v_j}_{1\le i\le m,1\le j \le n}$ 生成$V$作为$A$-模。 ◻

Definition $A\subset B$为$B$的子环，$b\in B$在$A$上是整的，如果$\exists n$，且$\exists a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in A$，使得 \(b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_1 b+a_0 = 0\) 如果每个$b\in B$都在$A$上是整的，则称$B$在$A$上是整的。

Proposition 对于$b\in B$，以下等价：

(1) $b$在$A$上是整的。

(2) 子环$A[b]\subset B$是有限生成的$A$-模。

(3) $\exists C\subset B$使得$A[b]\subset C$且$C$是有限生成的$A$-模。

Proof. (1) $\implies$ (2). $A[b]$可以由$b^{n-1},\ldots, b^1, 1$生成。

(2) $\implies$ (3). 显然。

(3) $\implies$ (1). 取$C$作为$A$-模的一组生成元$c_1,\ldots,c_n$。$b c_i\in C\implies b\cdot c_i= a_{i1}c_1+\cdots+a_{in}c_n$，$\exists a_{ij}\in A$。

\[b \left(\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{matrix}\right) = (a_{ij})_{n\times n} \left(\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{matrix}\right)\]

设$X:=b I_n - (a_{ij})\in M_n(A[b])$

根据线性代数，$\exists Y$，使得$Y\cdot X = \det(X) I_n$。则 \(\det(X) \left(\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{matrix}\right) = Y \cdot X \left(\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right)\) 因此$\det(B)=0$，这是关于$b$的一个系数在$A$中的多项式。 ◻

Lemma 如果$b_1,\ldots,b_r\in B$在$A$上是整的，则子环$A[b_1,\ldots,b_r]$作为$A$-模是有限生成的。

Proof. 记$A_r := A[b_1,\ldots,b_r]$。我们对$r$进行归纳。如果$A_{r-1}\supset A$是有限生成的$A$-模，则$b_r$在$A_{r-1}$上是整的，因此$A_{r-1}[b_r]=A_r$是有限生成的$A_r$-模。但由于$A_{r-1}$是有限生成的$A$-模，所以$A_r$是有限生成的$A$-模。 Qed

Corollary $b,b’\in B$ 在$A$上是整的 $\implies$ $b\pm b’,b b’$在$A$上是整的

Corollary $A\subset B \subset C$。如果$B$在$A$上是整的，$c\in C$在$B$上是整的，则$c$在$A$上是整的。

Definition \(\{b\in B:\text{ 在 } A\text{ 上是整的 }\}\) 根据推论是$B$的子环，称之为$A$在$B$中的整闭包。

Definition 如果整环$A$在$\mathrm{Frac} A$中的整闭包是$A$本身，则称$A$是整闭的。

Definition 如果$A$是一个整闭的整环，且$A$是诺特环并且每个非零素理想都是极大理想，则称$A$是戴德金环。

Proposition

1. 上述$O_k$是戴德金环。

2. 在戴德金环中，每个非零理想$=\mathfrak{p}_1^{e_1}\cdots \mathfrak{p_r}^{e_r}$，其中$\mathfrak{p}_1^{e_1},\ldots, \mathfrak{p_r}^{e_r}$是极大理想。

同态和正合序列

同调代数导论。

设$R$为环，$V,W$为$R$-模。

$\hom_R(V,W)={f:V\to W:R-\text{线性映射}}$ 这是一个$R$-模，定义为

$(f+g)(v):= f(v)+g(v)$ 且 $(a\cdot f)(v) = a f(v),a\in R$

Definition 考虑一系列$R$-线性映射。\(\cdots \to V_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}V_i \xrightarrow{f_i}V_{i+1} \to \cdots\) 如果$\mathrm{Im} f_{i-1} = \ker f_i$，则称此序列在$V_i$处正合；如果在任意$V_i$处都正合，则称此序列为正合序列。

Example

1. $0\to V \xrightarrow{f} W$ 正合。$\implies$ $f$ 是单射。

2. $V\xrightarrow{g} W \to 0$ 正合。$\implies$ $f$ 是满射。

3. $0\to V’ \xrightarrow{f} V \xrightarrow{g} V’’ \to 0$ 正合：$f$ 是单射，$g$ 是满射，$\mathrm{Im} f = \ker g$ (即 $V/V’ \simeq V’’$)

Proposition

1. \(0\to W' \to W \to W''\) 正合 $\iff$ $\forall V$ 为 $R$-模，\(0\to \hom(V,W')\xrightarrow{F} \hom(V,W) \xrightarrow{G} \hom(V,W'')\) 正合。

2. \(V'\to V\to V''\to 0\) 正合 $\iff$ $\forall W$ 为 $R$-模，\(0\to \hom(V'',W)\to \hom(V,W')\to \hom(V',W)\) 正合。

Proof. ($\implies$) 需要证明$F$单射且$\mathrm{Im} F = \ker G$。

$F$单射。

假设$\varphi:V\to W’$使得$F(\varphi)=(V\xrightarrow{\varphi}W’ \overset{[\text{inj}]{f}}{\leftrightarrow} W)=0$，所以$\mathrm{Im} (f\circ \varphi) =0$ $\xrightarrow{f \text{ 单射}}$ $\mathrm{Im} \varphi =0$，即$\varphi=0$。

$\underline{\mathrm{Im} F\subset \ker G}$: 取$\varphi:V\to W’$，

$G(F(\varphi)): V\to W’‘$是$V \xrightarrow{\varphi} W’ \xrightarrow{f} W \xrightarrow{g} W’‘$是零映射。

$\underline{\ker G \subset \mathrm{Im} F}$: 取$\psi: V\to W$使得$G(\psi) = 0$ $\implies$ $\mathrm{Im} \psi \subset \ker g = \mathrm{Im} f$。

所以$\psi$是\(V\xrightarrow{\exists \varphi} W' \overset{f}{\hookrightarrow} W\) 即$\psi = f\circ \varphi=F(\varphi)$ 所以$\psi \in \mathrm{Im} F$ Qed

张量积

Definition $U,V,W$为$R$-模。映射$U\times V\xrightarrow{F} W$是$R$-双线性的，如果 \(F(a u_1+b u_2,v)=a F(u_1,v)+ b F(u_2,v)\) \(F(u,c v_1+ d v_2) = c F(u,v_1)+ d F(u,v_2)\) $\forall a,b,c,d\in R,u,u_1,u_2\in V,v,v_1,v_2\in V$。

换句话说$\forall u\in U, V\to W:v\mapsto F(u,v)$是$R$-线性的；$\forall$

换句话说，$F$由$F(u_1,v_1),F(u_1,v_2)$唯一确定

更一般地，$F:K^m\times K^m\to W$ $R$-双线性映射由$mn$个元素$F(e_i,e_j)\in W,1\le i \le m,1\le j\le n$唯一确定。

Proposition 对于任意$U,V$为$R$-模，$\exists$ $R$-模$X$且$\exists U\times V\xrightarrow{F} X$为$R$-双线性映射，使得对于任意$R$-模$W$，对于任意$U\times V\xrightarrow{G} W$为$R$-双线性映射，$\exists$! $R$-线性映射$g:X\to W$使得$g\circ F=G$。此外，对$(X,F)$在同构意义下是唯一的。

记$(U\otimes_R V,U\times V\to U\otimes V)$，其中$(u,v)\mapsto u\otimes v$。

Proposition (1) $R\otimes_R V\simeq V$

(2) $V\otimes W\simeq W\otimes V$

(3) $(U\oplus V)\otimes W\simeq (U\otimes W)\oplus (V\otimes W)$

(4) $(U\otimes V)\otimes W = U \otimes (V\otimes W)$

Proof.

1. $R\otimes_R V$

2.

 Qed

Proposition \(\hom(U\otimes V,W)\simeq \hom(U,\hom(V,W))\)

Proposition 如果$W’\to W\to W’’ \to 0$是正合的，则$V\otimes W’\to V\otimes W \to V\otimes W’’ \to 0$对$\forall V$是正合的。

Proof. 取任意$R$-模$U$ Qed

Definition $R\to R’$为环同态。对于$R$-模$V$，$R’\otimes_R V$通过$a’(b’\otimes v) = (a’b’) \otimes v$成为$R’$-模（标量扩展）$R\to R’,R\to R’‘$为环同态，$R’\otimes_R R’‘$成为$R$-代数，其中$R\to R’\otimes_R R’,a\mapsto$

Proposition \(R/I\otimes V \simeq V/IV\) \(R/I \times_R R/J = R/ (I+J)\)

Proof. \(I \to R \to R/I \to 0\) 正合。 \(\implies I\otimes V\to R\otimes V \to R/I \otimes V \to 0\) 正合。

\(\mathrm{Im}(I\otimes V\to R\otimes V \simeq V) = IV\) 因此 \(R/I \otimes V \simeq V/(IV)\) Qed

Proposition \(R/ I \otimes_R R' = R'/I R'\) \(R[x]\otimes_R R' = R'[x]\)

Proposition $R\to R’$为$R$-代数。$U=R’$，则$R’\otimes_R V$通过$a’(\sum b_i’ \otimes v_i) = \sum a’ b_i’ \otimes v_i$成为一个$R’$-模

Proposition

其中$V=R\otimes_R V \to R’\otimes_R V$是$R$-线性映射$v= 1\otimes v \mapsto 1\otimes v$。\(\hom_{\text{R-lin}}(V,W') = \hom_{R'\text{-lin}} (R'\otimes_R V,W')\)

Proposition $R\xrightarrow{f’} R’$,$R\xrightarrow{f’’} R’’$，则$R’ \otimes_R R’‘$成为一个$R$-代数。\((\sum_i a_i'\otimes b_i'')\cdot (\sum_j c_j' \otimes d_j'') = \sum_{i,j} (a_i' c_j') \otimes (b_i'' d_j'')\) $R\to R’\otimes_R R’‘$且$a\mapsto a\otimes 1 = a(1\otimes 1) = 1\otimes a$。

Proposition

Example \(R'\otimes_R R[x] \cong R'[x]\)

Proof. 检查 $R’’ =R[x]$ 的泛性质。 Qed

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