本文研究Gamma函数及相关的无穷乘积理论。首先介绍无穷乘积的收敛理论，建立与对数级数的联系，并证明正弦函数的Euler乘积公式。然后定义Gamma函数，通过无穷乘积和Euler积分两种方式引入，证明其基本性质和函数方程。接着介绍Weierstrass乘积公式，展示如何构造具有给定零点分布的整函数，并定义Weierstrass σ函数、ζ函数和℘函数。最后证明Mittag-Leffler定理，讨论如何构造具有给定极点和主部的亚纯函数。

无穷乘积

对于 $a_k \in \mathbb{C}, k\in \mathbb{N}$, 我们考虑部分积序列 $P_n:=\prod_{k=1}^n a_k$.

无穷乘积 $P:= \prod_{k=1}^n a_k$ 称为收敛的, 如果 $(P_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 收敛, 且 $\exists k_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $\prod_{k=k_0}^{\infty} a_k \ne 0$.

对于 $a_n=(n-1)$ 和 $\tilde{a}_n = \frac{1}{2}$, 这些无穷乘积是不收敛的.

如果 $\prod_{k=1}^{\infty} a_k$ 收敛, 则 $\lim_{n\to \infty} a_n = 1$.

$\exists k_0$ 使得 $\prod_{k=k_0}^\infty a_k \to A \ne 0$. 因此$\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} \frac{\prod_{k=k_0}^{n+1}a_k}{\prod_{k=k_0}^n a_k} = \frac{A}{A} = 1$.

设 $a_n\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}^{\le 0}$. 则 $\prod_{k=1}^\infty a_k$ 收敛当且仅当 $\sum_{k=1}^\infty \log a_k$ 绝对收敛, 其中 $\log$ 是复对数的主值支.

$\impliedby$: 我们有 $S_n:= \sum_{k=0}^n \log a_k \to S$ 当 $n \to \infty$. 由 $\exp$ 的连续性可知 $p_n = \exp(s_n) \to \exp(s) \ne 0$ 当 $n\to \infty$.

$\implies$: 由于 $a_n \to 1$, 我们有 $\log a_n \to 0$.

写 $p_n = r_n e^{i\rho_n}$ 其中 $\rho_n \in [-\pi+\rho, \pi+\rho)$, 这里 $p = \lim_{n\to \infty} p_n = r^{i\rho}$ 且 $\rho \in [-\pi, \pi)$.

特别地, $\rho_n \to 0$.

写 $S_n := \sum_{k=0}^n \log a_k = \log r_n + i\rho_n + 2\pi i k_n$. (*)

因为 $\exp(s_n) = p_n$, 我们有 $k_n \in ℤ$ 对所有 $n\in \mathbb{N}$.

则 $2\pi i (k_{n+1}-k_n) = S_{n+1} - S_n - (\log r_{n+1} - \log r_n) - (i\rho_{n+1} - i\rho_n) = \log a_{n+1} - (\log r_{n+1} -\log r_n) - (i\rho_{n+1} - i\rho_n)$ $\implies$ $k_n = k\in ℤ$, $\forall n\ge k_0$ 且 (*) 的右端收敛.

设 $f_k:G\to {z\in\mathbb{C}| \Re(z)>0}$ 是全纯函数序列. 无穷乘积 $\prod_{k=0}^\infty f_k$ 局部一致收敛当且仅当级数 $\sum_k \log f_k$ 局部一致收敛, 其中 $\log f_k$ 是主值对数.

记 $p(z) = \prod_{k=1}^\infty f_k = r(z) \exp(i\varphi(z))$ 和 $p_n(z) = \prod_{k=1}^n f_k = r_n(z) \exp(i\varphi_n(z)).$ 因为 $p_n$ 局部一致收敛到 $p(z)$, 所以 $r_n(z)$ 和 $\varphi_n(z)$ 分别收敛到 $r(z)$ 和 $\varphi(z)$. 考虑函数 \(S\_n(z) = \sum\_{k=1}^n \log f\_k = \log r\_n (z) + i\varphi\_n(z) + 2\pi i k\_n(z).\) 其中 $k_n(z)$ 是整数值全纯函数. 注意到 \(2\pi i (k\_n(z)-k\_{n-1}(z)) = \log f\_n(z) - (\log r\_n(z) - \log r\_{n-1} (z)) + i(\varphi\_n(z) - \varphi\_{n-1}(z))\) 并且三个序列 $f_n - 1 = \frac{p_n}{p_{n-1}} - 1$, $\log r_n - \log r_{n-1}$ 和 $\varphi_n - \varphi_{n-1}$ 局部一致收敛到 $0$, 因此序列 $k_n(z)$ 局部一致收敛到一个整数 $k$. 于是, $S_n$ 局部一致收敛到 $\log r(z) + i\varphi(z) + 2\pi i k$.

证明中的’$\impliedby$’部分在我们仅假设对于每个 $z\in G$ 存在 $U\subset G$ 和 $k_0\in\mathbb{N}$ 使得 $\Re(f_n(z))>0, \forall n\ge k_0$ 和 $z\in U$ 时也成立.

考虑 $P:=\prod_{k=1}^\infty (1-\frac{z^2}{k^2})$. 设 $r>0$, 且 $z\in U=D_r(0)$. 对于 $k\ge k_0 \ge 2r$, $|\frac{z}{k}|^2<\frac{1}{4}$ 且 $|\log(1-\frac{z^2}{k^2})| = |\frac{z^2}{k^2}+\frac{1}{2}(\frac{z^2}{k^2})^2+\frac{1}{3}(\frac{z^2}{k^2})^3+\cdots| = \frac{|z|^2}{k^2}|1+\frac{1}{2}(\frac{z^2}{k^2})+\frac{1}{3}(\frac{z^2}{k^2})^2+\cdots| \le \frac{4}{3}r^2\frac{1}{k^2}$.

因此级数 $\sum_{k=1}^\infty \log(1-\frac{z^2}{k^2})$ 在 $D_r(0)$ 上局部一致收敛.

$\log(1-z) = -z - \frac{1}{2} z^2 - \frac{1}{3} z^3 + \cdots$, $\forall z\in D_1(0)$.

考虑 $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\mapsto \prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{k^2})$. 我们有 \(\frac{f'}{f} = \lim\_{n\to \infty} \sum\_{k=0}^n \frac{-2z}{k^2-z^2} = \pi \cot(\pi z) - \frac{1}{z}\)

考虑 $g:\mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\mapsto \frac{\sin(\pi z)}{\pi z}$, 在 $z=0$ 处有可去奇点且 $g(0) = 1$. 我们计算 $\frac{g’}{g} = \pi \cot(\pi z) - \frac{1}{z}$.

于是 $(\frac{g}{f})’ = 0$ 且因此 $g=cf$ 对某个 $c\in \mathbb{C} \setminus {0}$. 由于 $f(0) = 1 = g(0)$, 我们得出 $f=g$.

因而我们得出Euler发现的如下恒等式.

$\forall z\in \mathbb{C}$ 我们有 \(\sin (\pi z) = \pi z \prod\_{k=1}^\infty (1-\frac{z^2}{k^2}).\)

$z=\frac{1}{2}$ 给出 \(1= \frac{\pi}{2} \prod\_{k=1}^\infty (1-\frac{1}{4k^2}) = \frac{\pi}{2} \prod\_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)(2k+1)}{2k\cdot 2k}.\)

这给出了Wallis乘积 (1656) \(\frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdot \frac{3\cdot 3}{2\cdot 4} \cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5} \cdots\)

Gamma函数

考虑 \(P=\prod\_{k=1}^\infty (1+\frac{z}{k})e^{-\frac{z}{k}}.\)

$P$ 在 $\mathbb{C}$ 上局部一致收敛, 即 $P(z)$ 是整函数.

我们有 $(1+w)e^{-w}=1-\frac{w^2}{2}+\text{ 高阶项}$. 因此 $\exists 1>\delta>0$ 使得 $|(1+\omega)e^{-\omega}-1|<|\omega|^2$ $\forall |\omega|<\delta <1$.

设 $z\in D_r(0)$ 且 $k\ge 2k_0$ 且 $\frac{r}{k_0}<\delta$. 则 $(1+\frac{z}{k})e^{-\frac{z}{k}} \in D_1(1)$ 且我们可以像之前一样估计对数的主部 \(\|\log ((1+\frac{z}{k})e^{-\frac{z}{k}})\| \le \|(\frac{z}{k})^2 + \frac{1}{2} (\frac{z}{k})^4 + \cdots\| \le \frac{r^2}{k^2} (1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots) = \frac{4}{3} r^2 \frac{1}{k^2}\)

我们考虑由 $z\mapsto zP(z) = z\prod_{k=1}^\infty (1+\frac{z}{k})e^{-\frac{z}{k}}$ 给出的整函数 $H:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$.

$H$ 的零点是单重的且恰好位于 $ℤ^{\le 0}$, 即阶数为 $1$.

我们有 \(H(z) = \lim\_{n\to \infty} \frac{z(z+1) \cdots (z+n)}{n!} e^{-z\sum\_{k=1}^n \frac{1}{k}} = \lim\_{n\to \infty} \frac{z(z+1) \cdots (z+n)}{n!n^z} e^{z(\log n -\sum\_{k=1}^n \frac{1}{k})}.\)

对于 $z=1$, 我们得到 $H(1) = \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)}{n} e^{\log n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}$.

由于右端收敛, 我们得到 $\gamma:=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log n \approx 0.577216$ 的收敛性.

$\gamma$ 称为Euler-Mascheroni常数, 目前仍不知道 $\gamma$ 是否是无理数甚至是超越数. 它可以看作Riemann zeta函数的重正化值 $\gamma=\lim_{\zeta \to 1} \zeta(s)-\frac{1}{s-1}$.

根据定义, $e^\gamma H(1) = 1$ 且更一般地, $\forall z\in \mathbb{C}$, \(e^{\gamma z} H(z) = \lim\_{n\to \infty} \frac{z(z+1) \cdots (z+n)}{n! n^z}.\) 然后, 将 $z$ 替换为 $z+1$, 我们得到 \(\begin{aligned} e^{\gamma(z+1)}H(z+1) & = \lim\_{n\to \infty} \frac{(z+1)(z+2) \cdots (z+n+1)}{n! n^{z+1}}. \\ & = e^{\gamma z} H(z) \cdot \frac{1}{z} \end{aligned}\)

Gamma函数是亚纯函数 $\Gamma:\mathbb{C} \to \hat{\mathbb{C}}$, 在 $ℤ^{\le 0}$ 处有一阶极点, 由 $\Gamma(z) = \frac{1}{e^{\gamma z}H(z)}$ 给出.

对于 $x\in \mathbb{R} \setminus ℤ^{\le 0}$, $\Gamma(x) \in \mathbb{R}$.

$\forall z\in \mathbb{C} \setminus ℤ^{\le 0}$, \(\Gamma(z) = \lim\_{n\to \infty} \frac{n! \cdot n^z}{z(z+1) \cdots (z+n)}.\)

由上述可得

$\Gamma(1)=1$ 且 $\forall z\in \mathbb{C}\setminus ℤ^{\le 0}$, $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$. 特别地, $\Gamma(n+1) = n!$.

\[\\operatorname{res}\_{-n}(\Gamma) = \frac{(-1)^n}{n!}\]

$\forall z\in \mathbb{C} \setminus ℤ$ \(\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}\)

(使用Gauss乘积表示) \(\begin{aligned} \Gamma(z) \Gamma(1-z) & = \Gamma(z) \cdot (-z \Gamma(-z)) \\ & = \frac{-z}{H(z)e^{\gamma z} H(-z) e^{\gamma z}} = \frac{-z}{H(z)H(-z)} \\ &= \frac{-z}{-z^2 \prod\_{k=1}^\infty (1-\frac{z^2}{k^2})} = \frac{\pi}{\pi z \prod\_{k=1}^\infty (1-\frac{z^2}{k^2})} \\ &= \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \end{aligned}\)

作为Euler积分的Gamma函数

对于 $z\in \mathbb{C}$ ,$\Re(z) >0$, 我们考虑 \(\hat{\Gamma} (z) = \int\_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt = \int\_0^\infty t^z e^{-t} \frac{dt}{t}.\) 其中 $t^z = e^{z\log t}$.

$\hat{\Gamma}$ 在 ${z\in \mathbb{C}| \Re(z)>0}$ 上是全纯函数, \(\forall n\ge 0, \hat{\Gamma}^{(n)}(z) = \int\_0^\infty t^z (\log t)^n e^{-t} \frac{dt}{t}.\)

考虑 $\hat{\Gamma}(z) = I_0 + I_\infty := \int_0^1 t^{z-1} e^{-t} dt + \int_1^\infty t^{z-1} e^{-t} dt.$ 设 $x = \Re(z)$ 并注意到 $|t^{z-1}| = t^{x-1}$.

$I_\infty$: 对于每个 $x_0\in \mathbb{R}^+$, 存在 $C>0$ 使得 $\forall t\ge 1$ 和 $0\le x \le x_0$, $t^{x-1} = e^{(x-1)\log t} \le C e^{\frac{t}{2}}$.

于是, 对于 $z\in \mathbb{C}$ 且 $0\le \Re(z) \le x_0$, $f_n(z):= \int_1^n t^{z-1} e^{-t} dt$ 被 $C \int_1^\infty e^{-\frac{t}{2}} dt = \frac{2C}{\sqrt{e}}$ 界定, 且 $f_n$ 对于 $0\le \Re(z) \le x_0$ 一致收敛到 $I_\infty (z)$.

$I_0$: 对于 $t\in (0,1]$ 我们有 $|t^{z-1} e^{-t}| = |t^{x-1} e^{-t}|\le \frac{1}{t^{1-x}}$. 由于当 $s<1$ 时 $\int_0^1 \frac{1}{t^s} d t = \frac{1}{1+s} <\infty$.

我们看到全纯函数 $g_n(z) = \int_{\frac{1}{n}}^1 t^{z-1} e^{-t} dt$ 对于 $\Re(z)>0$ 局部一致收敛到 $I_0$.

因此, $\hat{\Gamma} = I_0 + I_\infty$ 是全纯的. 它的k阶导数由(通过局部一致收敛) $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{dz} \int_{\frac{1}{n}}^n (\log t)^{k-1} e^{z\ln t} e^{-t} \frac{dt}{t} = \int_0^\infty (\log t)^k t^z e^{-t} \frac{dt}{t}$ 给出.

$\hat{\Gamma}(1) = 1$ 且 $\hat{\Gamma}(z+1) = z\hat{\Gamma}(z)$.

容易验证.

解析延拓

如果 $\Re(z) > -1$, 则 $\Re(z+1) >0$ 且 $\hat{\Gamma}(z)$ 可以定义为 $\hat{\Gamma}(z) := \frac{\hat{\Gamma}(z+1)}{z}$.

我们可以多次应用这个方法, 如果 $z\in \mathbb{C},z\ne ℤ^{\le 0}$ 且 $\Re(z)>-n$ \(\hat{\Gamma}(z) = \frac{\hat{\Gamma}(z+n)}{z(z+1) \cdots (z+n-1)}\)

这定义了一个唯一的全纯函数 $\hat{\Gamma}:\mathbb{C} \setminus ℤ^{\le 0} \to \mathbb{C}$, 在 $ℤ^{\le 0}$ 处有单极点, 且满足 $\hat{\Gamma}(z+1) = z\hat{\Gamma}(z)$ 和 $\hat{\Gamma}(1) = 1$.

唯一性: 如果 $\Gamma^1$

$\Gamma$ 在 $S$ 上有界. $S$ 是竖直带.

设 $U\mathring{\subset} \mathbb{C}$ 且 $U\supset S$, $f:U\to \mathbb{C}$ 全纯, 满足

1. $\sup_{z\in S} |f(z)| < \infty$,

2. $f(z+1) = z f(z),\forall z\in U, \forall z+1\in U$.

则 $f = f(1) \Gamma$.

像对 $\hat{\Gamma}$ 一样, 我们可以将 $f$ 延拓为全纯函数 $\hat{f}:\mathbb{C}\setminus ℤ^{\le 0}\to \mathbb{C}$, 在 $ℤ^{\le 0}$ 处有单极点.

\[\hat{f}(z) = \frac{f(z+n)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}\]

对于 $n\in \mathbb{N}$ 且 $z+n \in U$, 或对于 $n\in \mathbb{N}$ 且 $z-n \in U$, $\hat{f}(z) = (z-1) \cdots (z-n) f(z-n)$.

同样我们有 $\hat{f}(z+1) = z\hat{f}(z), \forall z\in \mathbb{C} \setminus ℤ^{\le 0}$.

此外, 由函数方程归纳可得, $\forall n\in \mathbb{N}$, \(\\operatorname{res}\_{-n}(f) = \frac{(-1)^n}{n!} f(1) = f(1) \\operatorname{res}\_{-n} (\Gamma)\)

因此 $h(z) := f(z) - f(1) \Gamma(z)$ 是整函数.

显然 $h$ 在 $S$ 上有界, 且满足 $h(z+1) = z h(z), \forall z\in \mathbb{C}$.

设 $H(z) := h(z)h(1-z)$. 这给出一个整函数, 在 $0\le \Re(z) <1$ 上有界, 且满足 $H(z+1) = h(z+1) h(-z) = zh(z)\frac{h(1-z)}{(-z)} = -H(z).$

因此 $H$ 有界且根据定义 $H(1) = 0$ 为常数 $\implies$ $h=0$. (使用解析延拓)

$\Gamma = \hat{\Gamma}$.

验证前一定理.

Weierstrass乘积公式

设 $S \subset \mathbb{C}$ 是离散的. 特别地, $S$ 是有限集或可数集.

如果 $S = {s_1,\cdots,s_n}$ 且给定指数 $m_1,\cdots,m_n\in \mathbb{N}^+$, 则 $P =\prod_{k=1}^n (z-s_k)^{m_k}$ 是一个整函数, 恰好在 $s_k$ ($k=1,\cdots,n$) 处有 $m_k$ 阶零点.

现在, 我们要对无限集 $S\subset \mathbb{C}$ 做同样的事情.

设 $S={s_1,s_2,\cdots}$. 则 $\prod_{k=1}^\infty (z-s_k)^{m_k}$ 不收敛.

相反地(假设 $s_n\ne 0,\forall n\ge 1$), $\prod_{k=1}^\infty(1-\frac{z}{s_k})^{m_k}$ 可能收敛.

我们应该乘以修正项. 这样我们可以得到 \(f(z) = \prod\_{k=1}^\infty \left(1-\frac{z}{s\_k}\right)^{m\_k}\cdot e^{p\_k(z)},\) 其中 $p_k:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是某个多项式.

这个问题对于其他区域 $G\subset \mathbb{C}$ 也有意义.

对于离散集合 $S={s_0,s_1,\cdots,s_n}$ 且 $s_n\ne 0,s_n \ne s_m$ ,$\forall n,m\ge 1$ 和正整数 $m_k\in \mathbb{N}^+$, 存在全纯函数 $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 满足

1. $f(z) = 0\iff z\in S$.

2. $\operatorname{ord}_{s_k} f = m_k$.

整函数环的商域是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数域.

定义 $E_0(z) = (1-z)$. 对于 $k\ge 1, E_k(z) = (1-z) \exp(z+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^k}{k!})$.

(对于 $|z|<1$, 我们有 $\log(-z-\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}-)$. )

目标: 我们要找到序列 $k_n \in \mathbb{N}^+$ 使得 \(\prod\_{n=1}^\infty \left(E\_{k\_n}\left(\frac{z}{s\_n}\right)^{m\_n}\right)\) 收敛.

设 $m>0$ 和 $k\ge 0$ 是整数. 设 $|z|<\frac{1}{2}$, $m|z|^{k+1} \le \frac{1}{2}$. \(\|(E\_k(z))^m - 1\|\le 4m \|z\|^{k+1}\)

设 $s_n \ne 0$ $\forall n$ 且 $\lim_{n\to \infty} |s_n| = \infty$. 设 $m_n \in \mathbb{N}^+$ 给定. 则存在序列 $k_n\in\mathbb{N}^+$ 使得 $\sum_{k=1}^\infty m_n |\frac{z}{s_n}|^{k_n+1}<\infty$ $\forall z\in \mathbb{C}$.

例如, $k_n \ge m_n+n-1$ 可行.

$\prod_{n=1}^\infty a_n$ 局部一致收敛当且仅当 $\sum_{n=1}^\infty (a_n -1)$ 局部一致收敛.

这是乘积收敛的对数判别法的推论, 利用对于 $|z|<\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}|z| \le |\log(1+z)| \le 2|z|$.

如果 $s_n \to \infty$, 且 $s_n \ne 0, \forall n\in \mathbb{N}^+$, $m_n \in \mathbb{N}^+$ 和 $k_n$ 使得第二个引理中的级数收敛.

则 \(P = \prod\_{n=1}^{\infty} (E\_{k\_n}(z/s\_n))^{m\_n}\) 局部一致收敛到一个整函数 $P:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. 它满足

1. $P(z) = 0\iff z\in S$.

2. $\operatorname{ord}_{s_k} P = m_k$.

如果 $s_0 = 0$ 我们可以乘以 $\tilde{P} = z^{m_0} P(z)$ 来包含 $z=0$ 处零点的情况.

设 $\omega_1,\omega_2\in \mathbb{C}$ 是 $\mathbb{R}$-线性无关的. $\Gamma:= ℤ \omega_1 + ℤ \omega_2$ 称为(余紧)格.

我们寻找一个整函数 $\sigma:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$, 恰好在 $z\in \Gamma$ 处有一阶零点.

对于 $k\in \mathbb{N}$ 定义 $\Gamma_k = {l_1 \omega_1 + l_2 \omega_2| \max(|l_1|,|l_2|) = k}$, 则 $\Gamma_k$ 有(对于 $k>0$) 恰好 $8k$ 个元素且 $\Gamma = \bigcup_{k=0}^\infty \Gamma_k$. 我们按如下方式标记元素 $\omega\in \Gamma$. \(\{s\_0 = 0, s\_1=\omega\_1, s\_2, \cdots, s\_n, \cdots\} = \Gamma\)

存在 $c>0$ 使得 $\forall \omega \in \Gamma_k$ $|\omega| \ge c K$.

$\forall z\in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^\infty |\frac{z}{s_n}|^3 < \infty$ (这意味着我们可以在引理2中取 $k_n =2$).

由注记我们得到 $\sum_{n=1}^\infty |\frac{z}{s_n}|^3 = \sum_{k=1}^\infty \sum_{\omega\in \Gamma_k} |\frac{z}{s_k}|^3 \le \sum_{k=1}^\infty 8k \frac{|z|^3}{c^3 k^3}$.

对于每个格 $\Gamma = ℤ \omega_1 + ℤ \omega_2$, 函数 \(\sigma(z) := z \prod\_{n=1}^\infty (1-\frac{z}{s\_n}) \exp(\frac{z}{s\_n}+\frac{1}{2}\frac{z^2}{s\_n^2})\) 给出一个整函数, 恰好在 $\omega \in \Gamma$ 处有1阶零点. 它称为Weierstrass $\sigma$-函数.

对 $k_n =2$ 应用定理即可.

Weierstrass $\zeta$-函数 (Weierstrass $\zeta$-function) 由 $\zeta (z) = \frac{\sigma’(z)}{\sigma(z)}$ 给出. 它恰好有在格点 $\omega\in \Gamma$ 处的一阶极点.

我们有 $\forall z\in \mathbb{C} \setminus \Gamma$, Weierstrass $\zeta$-函数定义为 \(\zeta (z) = \frac{1}{z} + \sum\_{\omega\in \Gamma, \omega\ne 0} \frac{1}{z-\omega} + \frac{1}{\omega} + \frac{z}{\omega^2}.\) 这是利用了 $\sigma$ 的乘积局部一致收敛的事实.

Weierstrass $\wp$-函数由 \(\wp(z) = -\zeta'(z) = \frac{1}{z^2} + \sum\_{\omega\in \Gamma, \omega\ne 0} (\frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}).\) 给出

我们将研究 $\wp$ 作为一个重要的椭圆函数.

我们将看到 $\wp$ 是双周期的(但在 $\omega\in \Gamma$ 处有二阶极点)

$\zeta$-函数和 $\sigma$-函数不是双周期的, 但满足 $z\mapsto z+\omega, \omega\in \Gamma$ 的加法和乘法函数方程.

Mittag-Leffler 定理

Mittag-Leffler 部分分式分解 (Mittag-Leffler partial fraction decomposition).

$f: D_r \setminus {0} \to \mathbb{C}$ 全纯, 则主部由 $f^{-1} = \sum_{k<0} a_k z^k$ 给出, 其中 $f= \sum_k a_k z^k$ 是 $f$ 在 $D_r \setminus {0}$ 上的Laurent级数.

另一种可能是考虑 $h:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 非常数且全纯且 $h(0) = 0$, 然后取函数 $z\mapsto h(\frac{1}{z})$. 这个函数在 $z=0$ 处有极点(如果 $h$ 是多项式)或本性奇点(否则).

$f$ 在 $z=0$ 处的主部由 $h$ 确定, 如果 $f(z) - h(\frac{1}{z})$ 在 $z=0$ 处有可去奇点.

设 $S\subset \mathbb{C}$ 是离散的. 对于每个 $s\in S$, 设 $h_s : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是非常值整函数且 $h_s(0) = 0$. 则存在全纯函数 $f: \mathbb{C} \setminus S \to \mathbb{C}$ 使得对于所有 $s\in S$, $f(z) - h_s(\frac{1}{z-s})$ 在 $z=s$ 处有可去奇点.

设 $S = {s_1, s_2, \ldots}$ 且 $|s_n| \le |s_{n+1}|,\forall n$. 则 $z\mapsto h_{s_n} (\frac{1}{z-s_n})$ 是 $D_{|s_n|}(0)$ 上的全纯函数(我们假设 $s_1 \ne 0$).

在截断这些函数在某些圆盘上的Taylor展开级数后, 我们得到如下结论: $\sum_{n=N}^\infty |h_n(\frac{1}{z-s_n})-P_n(z)|$ 在 $z\in D_{\frac{|s_n|}{2}}(0)$ 上收敛, 其中 $P_n$ 是近似阶数的Taylor多项式. 对于给定的 $n\ge N$, 存在 $k_n$ 使得 $|h_{s_n}(\frac{1}{z-s_n}) - Taylor(h_{s_n}(\frac{1}{z-s_n}),k_n)| \le \frac{1}{n^2}$ 对所有 $z\in D_{|s_n|/2}(0)$ 成立.

则(如果 $s_0 = 0 \notin S$ 取 $h_{s_0} = 1$) \(f = h\_{s\_0} (\frac{1}{z-s\_0}) + \sum\_{n=1}^\infty (h\_{s\_n}(\frac{1}{z-s\_n})-P\_n(z))\)

是 $\mathbb{C} \setminus S$ 上的局部一致收敛级数, 它解决了我们的Mittag-Leffler问题(MLP).

$\Gamma:\mathbb{C} \setminus ℤ^{\le 0} \to \mathbb{C}$ 在 $-n \in ℤ^{\le 0}$ 处有一阶极点, 且 $\operatorname{res}_{-n} \Gamma = \frac{(-1)^n}{n!}$. 则函数 $g(z) = \Gamma(z) - h(z)$ ($h(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{1}{z+n}$) 是整函数, 因为 $\Gamma$ 和 $h$ 都是MLP的解.

$g(z) = \int_{1}^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$.

假设 $\Re(z)>0$.

则 \(\int\_0^1 t^{z-1} (\sum\_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} t^n) dt = \sum\_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \int\_0^1 t^{z-1} t^n dt = \sum\_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{1}{z+n}\)

$S = \Gamma = ℤ \omega_1 + ℤ \omega_2$ 对于 $\mathbb{R}$-无关的 $\omega_1,\omega_2$. 我们设 $h_\omega (z) = z^2$ 使得 $h_\omega(\frac{1}{z-\omega}) = \frac{1}{(z-\omega)^2}$, 我们想要找到函数 $f:\mathbb{C} \setminus \Gamma \to \mathbb{C}$ 满足 $f(z+\omega ) = \frac{1}{z^2} + holo$.

观察 $\sum_{\omega\in \Gamma} \frac{1}{(z-\omega)^2}$ 不收敛.

(我们需要截断它) $h_\omega(\frac{1}{z-\omega})$ 在 $z=0$ 处的Taylor展开给出 $h_\omega(\frac{1}{z-\omega}) = \frac{1}{\omega^2} \frac{1}{(1-\frac{z}{\omega})^2} = \frac{1}{\omega^2} + 2\frac{z}{\omega^3} + \cdots$.

然后我们取 $P_\omega(z) = \frac{1}{\omega^2}$.

则 $h_\omega(\frac{1}{z-\omega}) - P_\omega(z) = \frac{1}{(z-\omega)^2} -\frac{1}{\omega^2} = \frac{2z\omega - z^2}{\omega^2 (z-\omega)^2}$.

如果我们限制到 $|z| \le \frac{1}{2}|\omega|$ 对所有 $\omega \in \Gamma\setminus {\omega_0, \cdots , \omega_n}$, 则级数收敛, 因为 $|h_\omega(\frac{1}{z-\omega}) - \frac{1}{\omega^2}|\le \frac{C}{\omega^3}$ $\forall \omega \in \Gamma \setminus {\omega_0, \cdots , \omega_n}$.

则和 $\sum_{\omega\in \Gamma, \omega\ne 0} \frac{C}{\omega^3}$ 收敛, 这证明了 $\wp(z) := \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega\in \Gamma, \omega\ne 0} (\frac{1}{(z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2})$ 的收敛性.

基于此可以研究全纯函数环中的理想. 这个方向的一个基本结果是: 如果 $f,g:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是整函数且没有公共零点, 则存在整函数 $\alpha, \beta:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 使得 $\alpha f + \beta g = 1$.