Complex Analysis 几何

本文从几何角度研究复分析。首先计算各种区域的自同构群，包括ℂ、单位圆盘和Riemann球面，重点介绍Schwarz引理及其应用。然后引入双曲几何，定义单位圆盘上的双曲距离，证明其度量性质。接着研究Möbius变换群，推导交比这一重要的射影不变量，并研究Möbius变换的刻画——Schwarzian导数。这些内容展现了全纯映射深刻的几何特征。

空间的自同构

\[\\operatorname{Aut}(U) = \{f:U\to U: \text{全纯且双射}\}\]

$\operatorname{Aut}(U)$ 在复合运算下构成群。

单位映射在 $\operatorname{Aut}(U)$ 中，逆映射也在 $\operatorname{Aut}(U)$ 中（由复隐函数定理）。

$\mathbb{C}$ 的自同构。

$\operatorname{Aut}(\mathbb{C}) = {az+b: a\ne 0, b\in \mathbb{C}}$.

对于 $f:\mathbb{C} \to\mathbb{C}$ 全纯且双射，考虑 $\tilde{f}(z) = f(\frac{1}{z})$。则 $\tilde{f}$ 在 $z=0$ 处有奇点。如果是本性奇点，则 $\tilde{f}$ 不能是单射，因此 $f$ 不是单射。矛盾！因此 $\tilde{f}$ 在 $z=0$ 处有极点或可去奇点。因此 $f$ 是多项式，事实上因为 $f$ 双射，$f$ 是线性的。

$\operatorname{Aut}(D)$ 的计算。

设 $f:D\to D$ 全纯，$f(0)=0$ 且 $|f(z)|\le 1$。则 $|f’(0)|\le 1$ (1) 且 $|f(z)|\le |z|$ (2) 对所有 $z\in D$ 成立。如果在 (1) 或 (2) 中取等号，则存在 $b\in S^1\subset \mathbb{C}$ 使得 $f(z)=b\cdot z$。

考虑 $g = \frac{f}{z}$，则 $g$ 全纯且 $g(0) = f’(0)$。考虑 $r<1$，$\sup_{z\in D_r} { |g(z)|} = \sup_{|z|\le r} { |f(z)/z| }$。因此由最大模定理，\(= \sup\_{\|z\|=r} \{ \|f(z)/z\|\}\le 1/r.\)

函数只能在边界上达到最大值（由最大模原理）。

对所有 $a\in D$，存在 $\varphi \in \operatorname{Aut}(D)$ 形如 $z\mapsto \frac{z-a}{\overline{a}z-1}$ 且满足 $\varphi(a)=0$。

$\operatorname{Aut}(D) = {z\mapsto b \frac{z-a}{\overline{a}z-1}: a\in D, b\in S^1}$.

对于任意 $f\in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$。记 $a=f(0)$。由前一个引理，$\exists \varphi \in \operatorname{Aut}(D)$ 形如 $z\mapsto \frac{z-a}{\overline{a}z-1}$ 且满足 $\varphi(a)=0$。

则 $f\circ \varphi(0)=0$。对 $f$ 和 $f^{-1}$ 应用 Schwarz 引理我们可以得到 $|f(z)|\ge |z|$ 且 $|f^{-1}(z)|\ge |z|\implies|z|\ge |f(z)|$。

$f:D\to D$ 全纯，则 \(\frac{\|f(z)-f(w)\|}{\|1-\overline{f(z)}f(w)\|} \le \frac{\|z-w\|}{\|1-\overline{z}w\|}\) 特别地 \(\frac{\|f'(z)\|}{1-\|f(z)\|^2} \le \frac{1}{1-\|z\|^2}\)

等号成立当且仅当 $f\in \operatorname{Aut}(D)$。

设 $M$ 是将 $\omega \to 0$ 的映射。设 $\varphi$ 是将 $f(\omega) \to 0$ 的映射。 则 $M^{-1}$（存在）将 $0$ 映到 $\omega$。

考虑 $\varphi(f(M^{-1}(z)))$，它将 $0\to 0$ 且是 $D$ 的自同构。因此 $\varphi(f(M^{-1}(z)))\le z$，记 $z_0 = M^{-1}(z)$，即 $z = M(z_0)$。 \(\frac{\|f(z\_0)-f(\omega)\|}{\|\overline{f(z\_0)}f(\omega)-1\|} \le \frac{\|z\_0-z\|}{\|\overline{z}z\_0-1\|}\)

双曲几何

对于 $\gamma:[a,b]\to D$ 分段光滑曲线，$\gamma$ 的双曲长度定义为 \(L(\gamma) = \int\_a^b 2\frac{\|\gamma'(t)\|}{1-\|\gamma(t)\|^2} dt\)

定义点 $p,q$ 之间的距离为 \(d(p,q) = \inf \{L(\gamma): \gamma \text{ 是从 } p \text{ 到 } q \text{ 的曲线}\}\)

$d(p,q)=0 \iff p=q$.

假设 $p\ne q$。

  1. 存在 $\varphi \in \operatorname{Aut}(D)$（这实际上是等距映射）满足 $\varphi(p) = 0$ 且 $\varphi(q)=r\in (0,1)$

  2. 考虑 $\gamma:[a,b] \to D$ 满足 $\gamma(a) =0,\gamma(b) = r$，我们可以假设对 $t>a$ 有 $\gamma(t)\ne 0$。

则存在分段光滑映射 $\gamma:(a,b]\to \mathbb{R}^{>0}$, $\varphi:(a,b]\to \mathbb{R}$ 使得 $\gamma(t) = r(t) e^{i\varphi(t)}$

$\implies$ \(L(\gamma) = \int\_a^b \frac{2\|(\gamma'(t)+i\gamma(t)\varphi'(t))e^{i\varphi(t)}\|}{1-\|r(t)\|^2}dt \ge \int\_a^b \frac{2\|\gamma'(t)\|}{1-(\gamma(t))^2} d t = L(c)\) 其中 $c:[a,b]\to D,c(t)=r(t)$。

也考虑曲线 $\delta:[0,1]\to D,t\mapsto rt$。

则 $L(c)\ge L(\delta)$ 且等号成立当且仅当 $c$ 单调。

$L(\delta)=\cdots=\log(\frac{1+r}{1-r})>0$ 对于 $r>0$ $\iff$ $p\ne q$。

Riemann 球面定义为 $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup {\infty}$。

我们将 $\hat{\mathbb{C}}$ 与 $\mathbb{CP}^1$ 等同。

\(\mathbb{CP}^1 = \{ l\in \mathbb{C}^2 : l \text{ 是 } \mathbb{C}^2 \text{ 的一维子空间}\}\) 通过 $z\in \mathbb{C} \subsetneq \hat{\mathbb{C}}\mapsto \mathbb{C}\left(\begin{aligned} z \ 1 \end{aligned}\right) = l$ 且 $\infty \mapsto \mathbb{C}\left(\begin{aligned} 1 \ 0 \end{aligned}\right)$。 这是双射。

我们在 $CP^1$ 上有第二自然坐标 $\omega$，定义如下：如果 $z\ne 0$，则 $\mathbb{C}\begin{pmatrix} z \ 1 \end{pmatrix} = \mathbb{C}\begin{pmatrix} 1 \ 1/z \end{pmatrix}$。

然后将 $\omega$ 延拓到 $\infty$ 得到双射。 \(U\_\infty = \hat{\mathbb{C}} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \mathbb{C}\begin{pmatrix} 1 \\ \omega \end{pmatrix}\mapsto \omega\)

$\hat{\mathbb{C}}$ 是如下拓扑空间：$U\mathring{\subset} \hat{\mathbb{C}}$ 是开集当且仅当

1) $U\setminus {\infty}$ 在 $\mathbb{C}$ 中是开集。

2) 如果 $\infty \in U$，则 $U_\infty(U\setminus {0}) \mathring{\subset} \mathbb{C}$。

对于 (ii)，如果 (i) 成立，只需检查如果 $\infty \in U$，$\exists M = \frac{1}{\varepsilon}$ 使得如果 $|z|>M \implies z\in U$。

$\hat{\mathbb{C}}$ 是紧致的。

对于 $\hat{\mathbb{C}}$ 的每个开覆盖，存在开集 $O_0$ 覆盖 $\infty$。考虑 $\mathbb{C} \setminus O_0$，它是紧致的且有有限子覆盖。

设 $f:U\mathring{\subset} \hat{C} \to \mathbb{C}$ 连续，$f$ 称为全纯的，如果

1) $f:U\setminus {\infty}\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 全纯。

2) 考虑 $\tilde{f}:U\setminus {0,\infty}\to \mathbb{C}$ 满足 $\tilde{f}(\omega) = f(\omega)$ 在 $\omega = 0$ 处有可去奇点。

对于连续映射 $f:U\mathring{\subset} \hat{\mathbb{C}}\to \hat{\mathbb{C}}$ 称为全纯的，如果 $f: f^{-1}(\mathbb{C}) \cap U \mathring{\subset} \mathbb{C} \to \hat{C}$ 全纯且 $\frac{1}{f}|_{f^{-1}(\mathbb{C}\setminus {0})}$ 在 $f^{-1}(\infty)$ 处有可去奇点。

亚纯函数

设 $S\subset U \mathring{\subset} \mathbb{C}$ 是离散集。全纯函数 $f:U\setminus S \to \mathbb{C}$ 称为亚纯的（meromorphic）（在 $U$ 上），如果 $f$ 在每个 $p\in S$ 处有极点。我们用 $\mathcal{M}(U)$ 表示 $U$ 上亚纯函数的集合。

$U$ 上全纯函数的集合记为 $H^0(U,\mathcal{O})$。

如果 $f\in \mathcal{M}(U)$，则存在唯一的全纯函数 $\hat{f}:U\to \hat{\mathbb{C}}$ 满足 $S=\hat{f}^{-1}(\infty)$ 且 $\hat{f}|_{U\setminus S}= f$。

如果 $U\subset \mathbb{C}$ 是连通的，则 $\mathcal{M}(U)$ 在逐点乘法和加法下构成域。

$\mathcal{M}(\hat{C}) = \mathbb{C}(z)$.

$f:\mathcal{M}(\hat{\mathbb{C}})$ 只有有限多个极点。因为 $CP^1$ 是紧致的（序列紧致）。

存在 $g\in \mathbb{C}[z]$ 使得 $f\cdot g = p\in \mathbb{C}[z]$。

$\inf S = [\lambda_1,\cdots,\lambda_n]$ 阶数为 $k_1,\cdots,k_n$，则 $f = p/q$。

Möbius变换 (Möbius transformations)

考虑 $\hat{C} = \mathbb{CP}^1$，对于 $g\in GL(2,\mathbb{C})$，我们考虑映射 $g:\mathbb{CP}^1 \to \mathbb{CP}^1, l\mapsto g(l)$。显然对于 $g,h\in GL(2,\mathbb{C})$，我们有 $(g\circ h)l = g(hl)$ 且对于 $id \in GL(2,\mathbb{C})$，$id(l)=l$。

存在群同态 $Q : GL(2,\mathbb{C}) \to \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$。

只需证明 $g\in GL(2,\mathbb{C})$ 通过从 $\hat{\mathbb{C}}$ 到 $\hat{\mathbb{C}}$ 的全纯映射作用。

假设 $g=\left(\begin{matrix}a & b \c & d \end{matrix}\right)$，则 $g\mathbb{C}(z, 1) = \mathbb{C} g(z,1) = \mathbb{C}(az+b, cz+d)=\mathbb{C}(\frac{az+b}{cz+d},1)$。

利用 $\mathbb{CP}^1 \cong \hat{\mathbb{C}}$ 我们得到 $g(z) = \frac{az+b}{cz+d}\in \mathcal{M}(\mathbb{C})$。$\implies g\in \operatorname{Aut}(\tilde{\mathbb{C}})$。

我们可以找到 \(\ker(Q) = \{\lambda id : \lambda \in \mathbb{C}^*\}\)

\[PSL(2,\mathbb{C}) = GL(2,\mathbb{C})/ker(Q) = SL(2,\mathbb{C})/\{\pm id\} = \\operatorname{Aut} (\hat{\mathbb{C}})\]

$\varphi: \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}}) \implies \varphi = p/q, p,q\in \mathbb{C}[z]$。 不妨设 $p,q$ 互质。

定义 $m=\deg(p),n=\deg(q)$。断言 $m\le 1, n\le 1,m+n>0$。

如果 $m+n=0$，则 $p/q$ 是常数。

如果 $m>1$，则 $p$ 至少有两个零点，因为 $p,q$ 互质，所以 $p/q$ 不能是单射。

或者 $p$ 有阶数 $>1$ 的零点，则 $\varphi(z_0)’=0$ 在该点，但 $\varphi$ 不能是单射。

同理 $n\le 1$。

\[\hat{\mathbb{C}} = S^1\]

对于 $p,q,r$ 和 $\tilde{p}, \tilde{q}, \tilde{r}$（两两不同），存在唯一的 $\varphi \in \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ 满足 $\varphi(p)=\tilde{p},\varphi(q)=\tilde{q},\varphi(r)=\tilde{r}$。

观察 1。

不妨设 $\tilde{p} = 0, \tilde{q} = 1, \tilde{r} = \infty$。

观察 2。

通过应用 $\frac{1}{z-r}$ 令 $r=\infty$。

通过 $\varphi = \frac{z-p}{q-p}\in\operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ 将 $p,q,\infty=r$ 映射到 $0,1,\infty$。

这证明了存在性。

对于唯一性，设 $\varphi(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ 满足 $\varphi(0) = 0, \varphi(1)=1, \varphi(\infty) = \infty$，得到 $b=0,c=0,\frac{a}{d}=1$。

不能将任意 4 个点的集合映射到任意其他 4 个点的集合。这可以解释为一个不变量（称为交比）。

4 个两两不同的点 $p,q,r,s\in \hat{\mathbb{C}}$ 的交比定义为 $CR(p,q,r,z) = \varphi(z)\in \mathbb{C}\setminus {0,1}\subset \hat{\mathbb{C}}$，其中 $\varphi$ 是满足 $\varphi(p)=0, \varphi(q)=1, \varphi(r)=\infty$ 的自同构。

如果 $\tau\in \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ 且 $p,q,r,s\in \hat{\mathbb{C}}$ 两两不同，则 \(CR(p,q,r,s) = CR(\tau(p),\tau(q),\tau(r),\tau(s))\)

设 $p,q,r,s\in \hat{\mathbb{C}}$ 两两不同。则 $CR(p,q,r,s) = \frac{(s-p)(q-r)}{(s-r)(q-p)}$。

验证 $\varphi(z)=\frac{(z-p)(q-r)}{(z-r)(q-p)}$。

通过消去 $\infty$，该公式可以推广到 $p,q,r$ 或 $s$ 为 $\infty$ 的情形。

设 $p,q,r,s\in \hat{\mathbb{C}}$ 两两不同。则 $p,q,r,s$ 在一条直线或圆上 $\iff CR(p,q,r,s)\in \mathbb{R}$。

$\hat{\mathbb{C}}$ 中的圆 $C$ 和直线 $\hat{l}$ 由 $\mathbb{C} \subset \hat{\mathbb{C}}$ 中的圆 $C$ 和 $\hat{\mathbb{C}}$ 中的直线 $l\cup \infty$ 给出。

如果 $p,q,r\in l\cup \infty$ 在一条直线上，直接计算表明通过 $\varphi \in \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$。我们可以假设 $p=0, q=1, r=\infty$ 且 $CR(p,q,r,s) = \frac{s-0}{s-\infty} \frac{1-\infty}{1-0} = s \in \mathbb{R}$。

Möbius 变换 $\varphi\in \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ 将直线和圆映射到直线和圆。

设 $p,q \in D,p\ne q$。则存在唯一的圆 $C$ 在 $z$ 和 $w$ 处与 $D$ 正交相交。

不妨设 $p=0, q\in(0,1)$，存在性显然。（由下面的保角性质）

通过初等几何证明唯一性。

由 Cauchy-Riemann 微分方程，全纯映射的微分是缩放与旋转的复合，因此保角。

设 $p,q\in D,p\ne q$ 且 $z,w\in \partial D$ 如前一个命题所述。则 $d^{hyp}(p,q) = \log CR(z,p,w,q)$。

我们有对于 $x\in \mathbb{R}^{>0}$，$d^{hyp}(0,x) = \log \frac{1+x}{1-x} = \log CR(-1,0,1,x)$。

因为 $\varphi \in \operatorname{Aut}(D)$ 通过等距作用，我们可以安排 $p\mapsto 0, q \mapsto x>0$ 且交比对 Möbius 变换不变，结果得证。

$\mathbb{C}$ 的复仿射几何

我们知道角和直线。仿射变换的特征是 $A’’ = 0$。

如何刻画 Möbius 变换？ 它们保持交比！ 我们有对于 $z_0\in\mathbb{C}$，$t\in \mathbb{C}$（小），$CR(z_0,z_0+t,z_0+2t,z_0+3t)=-3$。设 $f:U\mathring{\subset}\hat{\mathbb{C}} \to \mathbb{C}$ 全纯，$z_0\in U$，$t$ 小。则 \(f(z\_0+t) = f(z\_0)+f'(z\_0)t + \frac{f''(z\_0)}{2}t^2 + \frac{f'''(z\_0)}{6}t^3 + t^4 g(t)\) 其中 $g$ 全纯。

一个长但直接的计算给出 \(CR(f(z\_0),f(z\_0+t),f(z\_0+2t),f(z\_0+3t)) = -3 +2\left(\frac{f'''(z\_0)}{f'(z\_0)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z\_0)}{f'(z\_0)}\right)^2\right)t^2 + O(t^2)\)

$S_z(f) = \frac{f’’‘(z)}{f’(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f’‘(z)}{f’(z)}\right)^2$ 是 $f$ 关于 $z$ 的Schwarzian导数 (Schwarzian derivative)。

设 $f:U\mathring{\subset} \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ 满足 $f’’‘\ne 0$ 全纯。则 $f$ 是 Möbius 变换 $\varphi \in \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ 在 $U$ 上的限制，$f= \varphi|_{U}$，当且仅当 $S_z(f) = 0$。

$\implies$ 由 $S_z(f)$ 的一次推导得出。

$\impliedby$

  1. $S_z(f) = 0$ 是 3 阶 ODE \(f''' =\frac{3}{2} \frac{f''(z)^2}{f'(z)}\)

    解 $f$（满足 $f’(z_0)\ne 0$）由 $f(z_0),f’(z_0),f’‘(z_0)$ 确定。我们可以通过 Möbius 变换得到可能的初始值。

  2. 写 $f=\frac{u}{v}$，使得 $f’ = \frac{u’v-uv’}{v^2}$。

    选择 $u,v$ 满足 $u’v-uv’ = 1$。因此 $v =\frac{1}{\sqrt{f’}}, u =\frac{f}{\sqrt{f’}}$。

    由 $1=u’v-uv’ = \det \begin{pmatrix} u’ & u \ v’ & v \end{pmatrix}$ 我们得到 $0 = \det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} u\ v \end{pmatrix}’’ & \begin{pmatrix} u \ v \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ $\iff$ $u’’ = \lambda u, v’’ = \lambda v$，其中 $\lambda = \frac{u’’}{u} = \frac{v’’}{v} = \frac{1}{2} S_z(f)$ $\implies u’‘=0, v’‘=0$ $\implies f$ 是 Möbius 变换。

Written on January 9, 2026