本文作为复分析系列的引言，介绍复数的基本概念和全纯函数的理论。首先回顾复数的代数和几何性质，以及它们不能排序的特性。然后定义复可微性和全纯函数，推导Cauchy-Riemann方程，这是全纯函数的核心刻画。我们讨论调和函数与全纯函数的关系，证明复隐函数定理，并研究指数函数和对数函数的基本性质，为后续章节奠定基础。

复数

向量空间 $\mathbb{C} = \mathbb{R} \oplus i\mathbb{R}$.

$P:\mathbb{C} \to gl(2,\mathbb{R})$ 由 $P(a+bi) = \left(\begin{matrix} a & -b \ b & a \end{matrix}\right)$ 定义。$P$ 是双射。且 $P(z)P(w) = P(z\cdot w) = P(w) P(z)$。

对于 $p\in \mathbb{C}$, $\epsilon>0$, 我们设 $D_\epsilon(p) := {z\in \mathbb{C}: |z-p|<\epsilon}$

复数不能排序

全纯函数

$f: U\to \mathbb{C}$ 在点 $p\in \mathbb{C}$ 处复可微，如果 $f(p+z) = f(p) + f’(p) z + h(p+z)$ 且 $h$ 满足 \(\lim\_{z\to 0} h(p+z)/z = 0\)

$f$ 在 $p$ 处复可微当且仅当 $\lim_{z\to 0} \frac{f(p+z)-f(p)}{z} \in \mathbb{C}$.

$f:U\dot{\to} \mathbb{C}$. $f$ 是全纯的，如果 $f$ 在 $U$ 的每一点都复可微。

设 $f = u + v i$ 是全纯函数，记 $z = x+yi$，则 \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)

$f$ 在 $z_0$ 处全纯当且仅当 $f$ 在 $z_0$ 处可微且 Cauchy-Riemann 方程在 $z_0$ 处成立。

断言：线性映射 $A=\left(\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix}\right)$ 是复线性的当且仅当 $A=\left(\begin{matrix} a & -b \ b & a \end{matrix}\right)$.

因此 $f$ 的 Jacobi 矩阵具有形式 $\left(\begin{matrix} a & -b \ b & a \end{matrix}\right)$，从而 Cauchy-Riemann 方程成立。

$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{y})$, $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{y})$

如果 $f$ 在 $z_0$ 处全纯，则 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$ 且 $f’(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = 2 \frac{\partial u}{\partial z} (z_0)$. 此外如果记 $F(x,y) = f(z)$，则 $F$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中可微且 $\det J_F(x_0,y_0) = |f’(z_0)|^2$

$4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = 4\frac{\partial}{\partial \bar{z}} \frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} = - \Delta$

如果 $f$ 全纯，则 $\Re(f), \Im(f)$ 是调和函数。

(利用解析性) 因为 $f$ 全纯，所以 $f$ 解析。于是 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。因此 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 且 $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$。

如果 $g:U\subset \mathbb{R}^2 = \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ 是调和函数，则 $\frac{\partial g}{\partial z} = \frac{1}{2} (\frac{\partial g}{\partial x}- i\frac{\partial g}{\partial y})$ 是全纯的。

每个调和函数 $g:U\to \mathbb{R}$ 局部上都是某个全纯函数的实部。

设 $f:U\to C$, $f’(p)\ne 0$，则存在 $\tilde{U}, V$ 使得 $\exists g=f^{-1}$ 且 $g’(f(p))=f’(p)^{-1}$.

通过通常的隐函数定理将 $f$ 视为 $\mathbb{R}^2$ 上的映射。 然后只需证明它是复可微的。 由通常的隐函数定理我们知道 $g = f^{-1}$，则 $g’$ 是 $f’$ 的矩阵的逆，该矩阵具有复数的形式。因此 $g$ 也具有复数的形式。

设 $U\mathring{\subset} \mathbb{C}$ 是连通的，$f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数且对所有 $p\in U$ 有 $f’(p)=0$。则 $f$ 是常值函数。

$\exp:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 满足 $\exp(z+w) = \exp(z)\exp(w)$。因此 $\exp(z)$ 是从 $(\mathbb{C},+)$ 到 $(\mathbb{C}\setminus {0},\cdot)$ 的群同态。

验证 $f(z) = \exp(z+w) / \exp(w)$ 是常值函数。

$\exp:{z\in \mathbb{C} \mid \Im(z)\in (-\pi,\pi)}\to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \le 0$ 是双射，因为 $\exp(z) = \exp(\omega)$ $\iff$ $z-\omega \in 2\pi i z$。这是由 $\pi$ 的定义得出的。

此外 $\exp’(z) \ne 0$，所以存在全纯函数 $\log:\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 } \to {z\in \mathbb{C}| \Im(z)\in (-\pi,\pi)}$ 满足 $\log(\exp(z))=z$，$\forall z\in {z\in \mathbb{C} | \Im(z)\in (-\pi,\pi)}$（且 $\exp(\log(z))=z$，$\forall z\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 }$）。

成立 $\log’ (z) =\frac{1}{z}$，$\forall z\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 }$。

另一方面定义 $\arg:\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 } \to (-\pi,\pi)$ 为有向角，由 $\theta=\arg(z)$ 定义，即 $\arg(x+iy) = \begin{cases} \arctan(y/x) & x>0
\arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) & y>0
-\arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) & y<0
\end{cases}$.

由这些公式，或通过初等几何，我们有 $\frac{\partial \arg}{\partial x} = -\frac{y}{x^2+y^2}$ 且 $\frac{\partial \arg}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2}$。

利用 Cauchy-Riemann 方程我们看到 $f(z) = \log(|z|) + i\arg(z)$ 在 $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 }$ 上全纯。成立 $f’(z) = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{z}$，$\forall z\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 }$。

因为 $f(1) = 0 = \log(1)$ 且 $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 }$ 是连通的，我们有 $f(z) = \log(z)$，$\forall z\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0 }$。