本文介绍复域中的常微分方程理论。首先建立存在性和唯一性定理：对于全纯的右端项，复ODE存在局部全纯解且解是唯一的。然后重点研究线性ODE系统，证明解空间是有限维向量空间。接着定义沿曲线的单值化（monodromy），讨论解在解析延拓下的行为，这连接了复ODE与代数拓扑。这些理论在研究特殊函数（如超几何函数）和单值化理论中有重要应用。

设 $U\mathring{\subset} \mathbb{C}, V \mathring{\subset} \mathbb{C}$ 且 $F:U\times V \to \mathbb{C}^n$ 连续且偏复可微，即 $F = (F_1,\cdots,F_n)$ 的每个分量限制到 $n+1$ 个复变量 $z,z_1,\cdots, z_n$ 中的任意一个时都是全纯的。则对于每个 $p\in U$ 和 $q\in V$ 存在全纯映射 $f:p\in U’\subset U \to V$ 满足 $f(p) = q$ 且 \(f'(z) = F(z,f(z))\) 对所有 $z \in U’$ 成立。如果 $\tilde{f}:\tilde{U} \to V$ 是同一ODE的另一个解且满足 $f(p) = \tilde{f}(p)$, 则在 $U’ \cap \tilde{U}$ 的包含 $p$ 的连通分支上有 $f= \tilde{f}$。

复域中的线性ODE

总是可以约化为一阶系统 \(y'(z) + A(z) y(z) = 0\) 其中 $A:U\mathring{\subset} \mathbb{C} \to gl(n,\mathbb{C})$ 而 $y:U’\subset U \to \mathbb{C}^n$。

设 $U’ \mathring{\subset} U$ 且 $A:U\to gl(n,\mathbb{C})$ 全纯。则ODE $y’ + A y = 0$ 的解空间是维数小于等于 $n$ 的向量空间。

\[y' - \frac{1}{2} \frac{1}{z} y = 0\]

如果 $\gamma : [0,1] \to U$ 是光滑曲线（或分段光滑曲线），则实ODE \(V'(t) + j'(t) A(\gamma(t)) V(t) = 0.\) 有 $n$ 维解空间。 如果 $\operatorname{Im}(j) \subset U’$ 且 $y:U’ \to \mathbb{C}$ 是复ODE $y’ + A y = 0$ 的解满足 $y(j(0)) = V(0)$，则由解的唯一性得到 $v(t) = y(j(t))$。

设 $\gamma$ 和 $\tilde{\gamma}$ 是在 $U$ 中同伦的两条曲线，考虑ODE $y’+A(z) y =0$，其中 $A:U\to gl(n,\mathbb{C})$ 全纯，以及对应的两个实ODE \(V\_k'(t) + j\_k (t) A(\gamma\_k(t)) V\_k(t) = 0.\)

如果 $V_1(0) = V_2(0)$ 且（$\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ 在固定点下同伦），则 $V_1(1) = V_2(1)$。

这类似于关于积分的结果。

与积分类似。

对于全纯函数 $A:U\mathring{\subset} \mathbb{C} \to gl(n,\mathbb{C})$，复ODE $y’ + Ay = 0$ 沿闭曲线 $\gamma:[0,1] \to U$ 且 $\gamma(0) = \gamma(1) = p$ 的单值化 (monodromy) 由 $\mathcal{M}(\gamma) = g(1) \cdot g(0)^{-1}$ 给出，其中 $g:[0,1] \to GL(n,\mathbb{C})$ 是 $g’(t) + \gamma’(t) A(\gamma(t)) g(t) = 0$ 的解。