本文介绍 Picard 定理及其证明，这是复分析中的深刻结果。文章首先引入双曲度量的概念，通过 Liouville 方程刻画满足曲率为 -1 的度量。随后定义 Kobayashi 伪度量，证明其在具有双曲度量的区域上构成真正的度量。利用这些工具，我们证明了 Picard 小定理：非常数的整函数最多遗漏一个值。进一步证明了 Picard 大定理：在本性奇点附近，除了至多一个例外值外，所有其他值都被取到无穷多次。最后还讨论了特定区域双曲度量的构造。

双曲度量

$\mathbb{D} = {z\in \mathbb{C} | |z|<1}$ 具有由共形因子 $\rho = \frac{4}{(1-|z|^2)^2}$ 确定的度量. $\implies$ $d_ρ$ 是 $\mathbb{D}$ 上的度量. Schwarz-Pick引理告诉我们: $d_ρ(z_1,z_2) \ge d_ρ(f(z_1),f(z_2))$ 其中 $f:D\to D$ 是全纯函数且 $z_1,z_2\in D$.

某个连通开集 $U\mathring{\subset}\mathbb{C}$ 上的双曲度量 (hyperbolic metric) 由共形因子 (conformal factor) $\mu:U\to \mathbb{R}^{>0}$ 给出,使得满足 Liouville 方程 $K(\mu) = -\frac{1}{2\mu} \Delta \log (\mu)= -1$。

$\rho = \frac{4}{(1-|z|^2)^2}$ 是双曲度量。

$\Delta = 4 \frac{\partial }{\partial \bar{z}} \frac{\partial }{\partial z}$.

则 $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\log \frac{4}{(1-z\bar{z})^2} = \frac{2z}{1-z\bar{z}}$ 且 $\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \log \frac{4}{(1-z\bar{z})^2} = \frac{2}{(1-z\bar{z})^2}$。

更一般地，对于 $f:U\to \mathbb{C}$ 全纯且满足 $f’(z) \ne 0, \forall z\in U$，我们有 $\mu_f := \frac{4|f’|^2}{(1-|f|^2)^2}$ 给出一个双曲度量。

对于 $f:U\to \mathbb{C}$ 全纯且 $f’(z) \ne 0, \forall z\in U$,我们有 $\tilde{\mu}_f := \frac{4|f’|^2}{(1+|f|^2)^2}$ 给出球面度量 (spherical metric),即 $K(\mu) = -\frac{1}{2\tilde{\mu}}\Delta\log \tilde{\mu}_f = 1$。

设 $\mu$ 是 Liouville 方程 $-\frac{1}{2\mu} \Delta \log \mu = -1$ 的解。如果 $U$ 是单连通的，则存在全纯映射 $f:U\to \mathbb{C}$ 使得 $\mu = \mu_{\tilde{f}} = \frac{4|f’|^2}{(1+|f|^2)^2}$。

(Liouville) 设 $U\mathring{\subset} \mathbb{C}$ 且 $\mu$ 是 $U$ 上的双曲度量，则对于每个 $p\in U$，存在 $U_p \mathring{\subset} U, p\in U_p$ 和全纯函数 $f:U_p \to \mathbb{C}$ 使得 $f’(z) \ne 0, \forall z\in U_p$ 且 $\mu_f = \mu$。

仅对实解析的 $\mu$ 证明。

设 $u : = \log \mu$，则 $u_{z\bar{z}} = \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial }{\partial \bar{z}} u = \frac{1}{2} e^u$。

定义 $T(\mu) : = u_{zz} - \frac{1}{2} (u_z)^2$。

$T$ 是全纯的。事实上， $\frac{\partial T}{\partial \bar{z}} = u_{zz\bar{z}} - u_{z\bar{z}}u_z = u_{z\bar{z}z} - u_{z\bar{z}}u_z = (\frac{1}{2}e^u)_z - \frac{1}{2} e^u u_z=0$。

事实上，对于 $\mu = \frac{4|f’|^2}{(1-|f|^2)^2}$，我们得到 $T_f = \frac{f’’’}{f’} - \frac{3}{2} \frac{f’‘^2}{f’^2} = S(f)$。

取 $S(f) = T(\mu)$ 的一个解 $f$。（根据常微分方程理论，它在局部存在）

这个解由在某个 $q\in U_p$ 处指定 $f(q), f’(q), f’‘(q)$（其中 $f(q) \in \mathbb{D}$）唯一确定。

上述 ODE 的两个解 $f,f^\ast$ 导出相同的 $\mu_f = \mu_{\tilde{f}}$ 当且仅当 $\tilde{f} = M(f), M\in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$。

我们可以选择 $q$ 并安排 $f$ 使得

1. $\mu_f (q) = \mu(q)$

2. $d_q \mu_f =d_q \mu$

如果 $f$ 是实解析的，那么利用 $1.$ 和 $2.$，从 $\Delta \log \mu_f - \Delta \log \mu = 2(\mu_f - \mu)$ 我们可以推出 $\mu_f = \mu$。

定理告诉我们，局部上，双曲度量与标准双曲度量 $\rho = \frac{4}{(1-|z|^2)^2}$ 相同（通过某个全纯函数）。

作为推论，我们可以通过以下方式引入分段光滑曲线 $\gamma:[0,1]\to U$ 的长度 \(L(\gamma) = \int\_0^1 \sqrt{\mu \circ \gamma(t)} \|\gamma'(t)\| dt\)

以及距离 $d_\mu: U\times U \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ 通过 $d_\mu (z_1, z_2) = \inf (L_\mu(\gamma)| \gamma:[0,1]\to U, \gamma(0) = z_1, \gamma(1) = z_2)$。

观察：对于 $\mu:U\to \mathbb{R}^{>0}$，$d_\mu$ 是 $U$ 上的度量。

证明与标准双曲度量 $\rho:\mathbb{D} \to \mathbb{R}^{>0}$ 的情况类似，或者是前一定理的直接推论。

如果 $\mu$ 是 $U$ 上的双曲度量（$U$ 连通且开）且 $f:\mathbb{D} \to U$ 是全纯的，则 $d_\rho(z_1,z_2) \ge d_\mu(f(z_1), f(z_2))$。

只需证明对于所有满足 $\gamma(0) = z_1, \gamma(1) = z_2$ 的 $\gamma:[0,1] \to \mathbb{D}$，有 $L_\mu (f\circ \gamma) \le L_\rho (\gamma)$。

$L_\rho(\gamma) = \int_0^1 \sqrt{\rho \circ \gamma(t)} |\gamma’(t)| dt$

$L_\mu(f \circ \gamma) = \int_0^1 \sqrt{\mu \circ f\circ \gamma(t)} |f’(\gamma(t))||\gamma’(t)| dt$

我们要证明 $u:=\frac{\mu \circ f |f’|^2}{\rho} :\mathbb{D} \to \mathbb{R}$ 从上方被 $1$ 界定。

然后结果就得到了。

第1步。 假设 $u$ 在某个 $a\in \mathbb{D}$ 处达到最大值。则 $\log u$ 在 $a$ 处达到最大值，于是我们得到 $(\Delta \log)u (a) \le 0$。 但 $(\Delta \log)u = \Delta \log \mu \circ f + \Delta \log |f’|^2 - \Delta \log \rho$。

$f:U\to V$ 全纯且 $h:V\to \mathbb{R}$，$h \in C^2$，则 $\Delta(h\circ f) = (\Delta h )\cdot f |f’|^2$。

观察 $(h\circ f)_z = h_z \circ f \cdot f’$ 和 $(h\circ f)_{\bar{z}} = h_{\bar{z}} \circ f \cdot \bar{f’}$。

于是 $(h\circ f)_{z\bar{z}} = (h_z \circ f \cdot f’)_{\bar{z}} = h_{z\bar{z}} \circ f \cdot \bar{f’} \cdot f’$。

因此 $\Delta \log u = (\Delta \log_mu)\cdot f |f’|^2- \Delta \log \rho = 2\mu\circ f |f’|^2 - 2\rho = 2\rho (u-1)$。

因此如果 $u$ 有最大值，我们得到 $u(a) \le 1$。

第2步。 一般情况。

对于 $\tau\in (0,1)$ 我们考虑 $f_\tau:\mathbb{D} \to \mathbb{C}, z\mapsto f(\tau\cdot z)$。我们有，对于 $\tau <1$，$|f_\tau| \le M_\tau$（依赖于 $\tau$），$\forall z\in D$。

另一方面 $\rho(z) \to \infty$ 当 $z\to 0$。

因此对于 $\tau <1$，$u_{\tau} : = \frac{\mu \circ f_\tau \cdot |f_\tau’|^2}{\rho}$ 在 $\mathbb{D}$ 上有界，且满足 $\lim_{|z|\to 1} U_{\tau}(z) = 0$。于是 $u_\tau$ 有最大值 $u_\tau (t) \le 1 ,\forall z\in \mathbb{D}, \forall \tau \in (0,1)$。

取极限 $\lim_{\tau \to 1} u_{\tau} = u$ 得到 $u(z) \le 1, \forall z\in \mathbb{D}$。

如果 $\Delta \log \rho \ge 2 \rho$（即 $K_\rho = -\frac{\log \rho}{2\rho} \le -1$），同样的结论成立。

设 $\rho = c \cdot h(2z) h(2z-2), c>0$，其中 $h(z) = |z|^{2\alpha-2} (1+|z|^{2\alpha})$，$\frac{1}{5} > \alpha >0$。可以证明在 $\mathbb{C}\setminus {0,1}$ 上 $K_\rho \le -1$。

Kobayashi伪度量

$U\mathring{\subset} \mathbb{C}$, $U$ 是连通的。 定义 $K_U^\circ: U\times U \to \mathbb{R}^{\ge 0}\cup {\infty}$, 对于 $z_1,z_2\in U$, \(K\_U^\circ (z\_1,z\_2) := \inf \{d\_\rho(a,b)\| a,b\in \mathbb{D}, \exists f:D\to U \text{ 满足 }, f(a) = z\_1, f(b) = z\_2\}\) 以及 \(K\_U(z\_1,z\_2) := \inf (\sum\_{j=1}^{k-1} K\_U^\circ (w\_j,w\_{j+1})\| w\_j\in U, w\_1 = z\_1, w\_k = z\_2)\)

我们需要研究 Kobayashi 伪度量何时是度量。

对于 $a\in U$ 和 $r>0$ 使得 $D_{2r} (a) \subset U$，我们有 \(K\_U(a,z) \le \frac{4}{3r}\|z-a\|, \forall z\in D\_r(a).\)

$K_{\mathbb{C}} = 0$，即 $K_{\mathbb{C}}$ 不是度量。

由前一个引理，令 $r\to \infty$。

$K_U$ 是伪度量，即 $K_U(z_1,z_2) = K_U(z_1,z_2)$ 且 $K_U(z_1,z_3) \le K_U(z_1,z_2) + K_U(z_2,z_3)$。

设 $U,V \mathring{\subset} \mathbb{C}$ 是开且连通的，$f:U\to V$ 是全纯的。 则对于 $\forall z_1,z_2\in U$，我们有 $K_V(f(z_1),f(z_2)) \le K_U(z_1,z_2)$。

根据定义直接验证。

如果 $f:U\to V$ 是双全纯的，则 $K_U(z_1,z_2) = K_V(f(z_1),f(z_2)), \forall z_1,z_2\in U$。

如果 $U$ 是开且连通的并且具有双曲度量 $\mu:U\to \mathbb{R}^{>0}$，则 $d_\mu(z_1,z_2) \le K_U(z_1,z_2), \forall z_1,z_2\in U$ 且 $K_U$ 是度量。

基于 Ahlfors 引理。

对于 $\forall z_1, z_2 \in U$ 和 $f:\mathbb{D} \to U$ 满足 $f(a) = z_1, f(b)=z_2$。

我们有 $d_\rho(a,b) \ge d_\mu(f(a),f(b))$，其中 $\rho:\mathbb{D} \to \mathbb{R}^{>0}, z\mapsto \frac{4}{(1-z^2)^2}$。

取下确界得到 $K_U^0(z_1,z_2) \ge d_\mu(z_1,z_2)$。

根据定义，对于所有 $\varepsilon>0$，存在一个链 $z_1 = w_1,w_2,\ldots,w_{n+1} = z_2\in U$ 使得

\[\begin{aligned} K\_U(z\_1,z\_2) +\varepsilon & > K^\circ\_U(z\_1,w\_2) + K\_U^\circ(w\_2,w\_3) + \ldots + K\_U^\circ(w\_n,z\_2) \\ & \ge d\_\mu(z\_1,w\_2)+d\_\mu(w\_2,w\_3)+\cdots+ d\_\mu(w\_n,z\_2) \\ & \ge d\_\mu(z\_1,z\_2) \end{aligned}\]

因为 $\varepsilon>0$ 是任意的，这给出了证明。

\[K\_D = d\_{\rho}\]

如果 $U\subset \mathbb{C}$ 是有界的，则 $K_U$ 是度量。

事实上，不失一般性设 $U\subset \mathbb{D}$ 且 $f=id : U\to \mathbb{D}$ 给出 $d_\rho = K_{\mathbb{D}} \le K_U$。

$\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^{\le 0}$ 具有双曲度量。事实上，$\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0}\cong \mathbb{D}$。

Picard定理的证明

$\mathbb{C} \setminus {0,1}$ 具有（许多）双曲度量。（后面证明）

每个非常数的整函数 (entire holomorphic function) $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 最多遗漏一个点。

假设 $\operatorname{Im} (f) \subset \mathbb{C} \setminus {b_1,b_2}, b_1 \ne b_2$。

存在 $M\in \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$ 使得 $M(\infty) = \infty, M(b_1) = 0, M(b_2) = 1$。

考虑 $\tilde{f} = M\circ f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus {0,1}$。

因为 $\mathbb{C} \setminus {0,1}$ 具有双曲度量，$K_{\mathbb{C}\setminus{0,1}}$ 是度量。

对于 $z_1, z_2\in \mathbb{C}$，我们有 $K_{\mathbb{C}\setminus{0,1}}(\tilde{f}(z_1), \tilde{f}(z_2)) \le K_{\mathbb{C}} (z_1,z_2)=0$。

因为 $K_{\mathbb{C}\setminus{0,1}}$ 是度量，$\tilde{f}(z_1) = \tilde{f}(z_2), \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}$。

考虑 $\mathbb{D}^* = {z\in \mathbb{C}| 0<|z|<1}$。对于 $\varepsilon \to 0$，我们有 $\operatorname{diam}_{K_{D^*}} (|z| = \varepsilon) \to 0$。

其中 $\operatorname{diam}_d(V) = \sup(d(p,q)|p,q\in V)$。 $d:U\times U \to \mathbb{R}^{>0}$ 是度量。

设 $r>2\pi$ 并定义 $f_r: \mathbb{D} \to\mathbb{D}^*, z\mapsto e^{-(1+iz)r}= e^{-(1-y)r} e^{-ixr}$。（根据定义，$f_r(\mathbb{D})\subset \mathbb{D}_R$）

则 $f_r([0,\frac{2\pi}{r}]) = S_{e^{-r}}^1 := {\zeta\in\mathbb{D}^* | |\zeta| = e^{-r}}$。

于是我们有 $\operatorname{diam}_{K_{D^*}} (|z| = e^{-r}) \le length_\rho([0,2\pi \log \varepsilon]) \to 0$ 当 $r\to \infty$。

设 $U\mathring{\subset} \mathbb{C}$ 且 $a\in U$, $f:U\setminus {a} \to \mathbb{C}$ 是全纯函数且在 $a$ 处有本性奇点. 则存在 $b\in \mathbb{C}$ 使得 $f(U\setminus {a}) = \mathbb{C} \setminus {b}$.

$\implies$ 除了至多一个例外值外, 每个值都被 $f$ 取到无穷多次.

不失一般性设 $U=D,a=0$。$\tilde{f} = f\circ \rho$。

假设 $\operatorname{Im}(f) \subset \mathbb{C} \setminus {b_1,b_2}$。不失一般性设 $b_1=0,b_2=1$。

$f:\mathbb{D}\setminus {0} \to \mathbb{C} \setminus {0,1}$。则 $f$ 在 $0$ 附近的小邻域内的像是稠密的。存在序列 $(z_n)_{z\in \mathbb{N}}, z_n\to 0, n\to \infty, z_n \ne 0, \forall n$ 使得 $f(z_n) \to \omega = 5, n\to \infty$。

因为 $z_n\to 0$，$|z_n| \to 0$，我们得到 $\lim_{n\to \infty} \operatorname{diam}_{K_{D^*}} (S_{|z_n|}^1 ) = 0$，其中 $S_{|z_n|}^1 = {\zeta| |\zeta| = |z_n|}$。

根据全纯函数 $f$ 的 Kobayashi 距离的映射性质。

我们有 $\operatorname{diam}_{\mathbb{C}\setminus{0,1}} f(S_{|z_n|}^1)\to 0 , n\to \infty$。

因为对于双曲度量 $\mu:\mathbb{C}\setminus {0,1} \to \mathbb{R}^{>0}$，有 $d_\mu \le K_{\mathbb{C}\setminus{0,1}}$，我们也有 $\operatorname{diam}_{d_\mu} f(S_{|z_n|}^1) \to 0, n\to \infty$。

在 $D_1(5)$ 上存在常数 $C>0$ 使得对于所有 $z_1,z_2\in D_1(5)$，$d_\mu(z_1,z_2) \ge C \cdot |z_1-z_2|$。（$C = \inf_{z\in \overline{D_1(5)}}\mu(z)>0$）

$\implies$ 存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得对于所有 $n>N$，我们有 $f(S_{|z_n|}^1) \subset D_1(5)$。

设 $n>N$ $\implies$ $|z_n| >0$

根据 Casorati-Weierstrass 定理，存在 $\tilde{z} \in \mathbb{D} \setminus {0}$ 且 $|\tilde{z}| < |z_n|$ 使得 $f(\tilde{z}) \in D_1(10)$。

取 $m>n>N$ 满足 $|z_m| < |\tilde{z}| < |z_n|$。

根据最大值原理，像 $f(A_m^n) \subset D_1(5)$，其中 $A_m^n = {\zeta | \ |z_m| \le |\zeta| \le |z_n|}$。

矛盾！

$\mathbb{C} \setminus {a}$ 不具有双曲度量。

特定双曲度量的构造

在 $\mathbb{C} \setminus {0,1}$ 上构造双曲度量。