本文证明复几何中的核心定理——Riemann映射定理。首先建立全纯函数的紧性理论，包括Montel定理和关于收敛性的结果。然后证明Riemann映射定理：每个非全平面的单连通区域都可以双全纯映射到单位圆盘。证明采用构造性方法，利用极值原理和Schwarz引理。我们进一步讨论双全纯映射到边界的延拓（Carathéodory定理），并通过Riemann映射定理引入椭圆函数的概念。

全纯函数的紧性结果

全纯函数 $f_n:U\mathring{\subset} \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 的序列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 称为局部有界 (locally bounded) 的, 如果对于所有 $p\in U$, 存在 $U_p\mathring{\subset} U$ 和 $M_p>0$ 使得 $\forall z\in U_p$, $\forall n\in \mathbb{N}$, $|f_n(z)|\le M_p$.

设 $(f_n)$ 是全纯函数 $f_n : U\to \mathbb{C}$ 的局部有界序列. 则 $(f_n)$ 是局部一致 Lipschitz 的, 即对于所有 $p\in U$, 存在 $U_p\mathring{\subset} U, p\in U_p$ 和 $\exists M_p >0$ 使得对于所有 $n\in \mathbb{N}$ ($\forall z,w\in U_p, |f_n(z) -f_n(w)|\le M_p |z-w|$)

设 $p\in U$ 和 $r>0$ 使得 $D_{3r}(p) \subset U$ 且对于所有 $z\in D_{3r}(p)$, 对于所有 $n\in \mathbb{N}$, $|f_n(z)|< M$.

对于 $z,w\in D_r(p)$, 我们有 \(\|f\_n(z) -f\_n(w)\| = \frac{1}{2\pi i}\int\_{\|\\zeta-p\|=2r} \frac{f\_n(\\zeta)}{\\zeta-z} - \frac{f\_n(s)}{\\zeta - w} ds = \frac{z-w}{2\pi i} \int\_{\|\\zeta-p\|=2r} \frac{f\_n(\\zeta)}{(\\zeta-z)(\\zeta-\\omega)} d\\zeta.\)

$\implies$ $|f_n(z) - f_n(\omega)| \le \frac{|z-\omega|}{2\pi} \frac{M}{r^2}4\pi r$.

设 $(f_n)$ 是全纯函数 $f_n : U\to \mathbb{C}$ 的局部有界序列. 设 $A\subset U$ 在 $U$ 中稠密且 $f_n(a)$ 对所有 $a\in A$ 收敛.

则 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 局部一致收敛到某个全纯函数 $f:U\to \mathbb{C}$.

设 $p \in A$, $\exists M>0$ 和 $r>0$ 使得对于所有 $z, w\in D_{2r} (p)$, $|f_n(z) - f_n(w)| \le M |z-w|$.

断言: $f_n$ 在 $K=\overline{D_r(p)}$ 上一致收敛, 其中 $K$ 是紧集且具有非空开内部, 包含 $p\in A$.

设 $\varepsilon>0$ 并定义 $\delta = \min (r, \frac{\varepsilon}{M})$. 则 $K\subset \bigcup_{a\in A} D_\delta (a)$, 因为 $A\subset U$ 是稠密的且 $K\subset U$.

因为 $K$ 是紧集, 存在 $a_1, \ldots, a_n\in A$ 使得 $K\subset \bigcup_{j=1}^n D_\delta (a_j) \subset D_{3r} (p) \subset U$ $\implies$ $\exists N \in \mathbb{N}$ 使得对于所有 $n,m\ge N$ 和所有 $j=1,\ldots,k, |f_n(a_j) -f_n(a_j)|<\varepsilon$.

对于所有 $z\in K$, 存在 $j=1,2\ldots, k$ 使得 $z\in D_\delta (a_j)$, 我们得到 $|f_n(z) -f_m(z)|\le |f_n(z) - f_n(a_j)| + |f_n(a_j)-f_m(a_j)| + |f_m(a_j) - f_m(z)|<3\varepsilon, \forall n,m\ge N$.

设 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 是全纯函数 $f_n: U\to \mathbb{C}$ 的局部有界序列. 则存在局部收敛的子序列 $(f_{n_k})_{k\in \mathbb{N}} \to f$ 其中 $f$ 是全纯的.

设 $A\subset U$ 是可数稠密子集, 即 $(ℚ+iℚ)\cap U =: A$.

记 $A = { a_1,\ldots , a_n}$. (我们枚举这些元素)

考虑 $a_1,\ldots,a_n$, $(f_n(a_n))_{n\in\mathbb{N}}$ 是有界序列, 所以存在子序列, 存在 $1,2,\ldots$ 的子序列 $(1_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 使得 $f_{1_n}(a_1)$ 收敛.

$f_{1_n}(a_2)$ 是有界序列, 所以存在 $1,2,\ldots$ 的子序列 $(2_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 使得当 $n\to \infty$ 时 $f_{2_n}(a_2)$ 收敛.

$\vdots$

我们得到, 对于每个 $k\in \mathbb{N}$, $1,2,\ldots,n$ 的一个子序列使得对于某个 $n\to \infty$, $f_{k_n}(a_k)$ 对所有 $j=1,2,\ldots,k$ 收敛.

考虑子序列 $(f_{n_n})_{n\in \mathbb{N}}$. 根据构造, $(f_{n_n}(a))_{n\in \mathbb{N}}$ 对所有 $a\in A$ 收敛.

证明由前一个引理得到.

设 $U\mathring{\subset}\mathbb{C}$ 是连通的且 $B\subset U$ 是包含至少 $1$ 个聚点的子集. 设 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 是全纯函数 $f_n: U\to \mathbb{C}$ 的局部有界序列, 使得 $f_n(a)$ 对所有 $a\in B$ 收敛. 则 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 局部一致收敛到某个全纯函数 $f:U\to \mathbb{C}$.

断言.

对于所有 $p\in U$, $f_n(p)$ 收敛.

假设不是这种情况.

根据 Montel 定理, 我们有子序列 $(f_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ 使得 $f_{n_k}(p)$ 对所有 $p\in B$ 局部一致收敛.

如果 $f_n(p)$ 不收敛 (到 $f(p)$), 则存在 $\delta > 0$ 和第二个子序列 $(f_{m_j})_{j\in \mathbb{N}}$ 使得 $|f_{m_j}(p) - f(p)| \ge \delta$ (*).

再次应用 Montel 定理得到 (不妨一般地)

$f_{m_j}\to g$ 局部一致.

根据假设, $f(a) = g(a), \forall a\in B$.

然后全纯函数的恒等定理给出 $f=g$, 与 (*) 矛盾.

根据引理, $f_n \to f$ 一致收敛.

Riemann映射定理

每个 $U\mathring{\subset} \mathbb{C}$ 的初等域 (elementary domain) 且 $U\ne \mathbb{C}$, 都双全纯同胚于单位圆盘 $\mathbb{D} = {z\in \mathbb{C} \vert |z|<1}$.

单连通域 (simply connected domain) 蕴含初等域 (elementary domain)

双全纯同胚 (biholomorphic) 意味着 $U$ 和 $D$ 是同胚的.

所以每个初等域都是单连通域.

要验证 $U$ 和 $D$ 是双全纯同胚的, 即存在 $\varphi : U\to D$ 双射, 全纯且 $\varphi^{-1}$ 也全纯.

只需证明存在双射的全纯函数 $\varphi: U\to D$ 即可.

如果 $U\mathring{\subset}\mathbb{C}$, $U\ne \mathbb{C}$ 是初等域, 则存在双全纯映射 $\varphi:U\to V=\varphi(U) \mathring{\subset} \mathbb{D}$.

取 $b\in \mathbb{C} \setminus U$ 并考虑 $\frac{1}{z-b}:U\to \mathbb{C}$, 它是全纯的且承认一个原函数 $h:U\to \mathbb{C}$ 全纯且满足 $h’(z) = (z-b)^{-1}$ $\implies$ 在必要时对 $h$ 加上一个常数后 $e^{h(z)} = (z-b)$.

考虑 $f:U\to \mathbb{C}$ $f=e^{\frac{1}{2}h}$. 它是全纯的且满足 $f^2 = (z-b) = g$.

则 $g:U\to \mathbb{C}$ 是单射 $\implies$ $f$ 是单射, 但更多的事实成立. 如果 $z,\tilde{z}\in U$ 满足 $f(z) = \pm f(\tilde{z})$ $\implies$ (由 $g(z) = g(\tilde{z})$ ) $z = \tilde{z}$.

存在 $z_0 \in U$ 使得 $f(z_0) = y_0 \ne 0$ 和 $r>0$ 使得 $0\notin D_r(y_0) \subset \operatorname{Im}(f)$.

$\implies$ $D_r(-y_0) \cap \operatorname{Im}(f) = \emptyset$.

存在 Möbius 变换 $\psi:\hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ 使得 $\varphi(D_r(-y_0)) = \hat{\mathbb{C}} \setminus \overline{\mathbb{D}}$.

$\implies$ $\operatorname{Im}(\psi \circ f)\subset \mathbb{D} \subset \overline{\mathbb{D}}$.

通过计算, $\varphi = \psi \circ f$ 是全纯的单射, 即到其像的双全纯映射.

不妨一般地 (w.l.o.g) $U\mathring{\subset} \mathbb{D}$ 是初等域, 由于以下引理.

如果 $\varphi: U\to V$ 是双全纯映射且 $U$ 是初等域, 则 $\varphi(U) =V$ 也是初等域.

利用沿闭曲线的积分为 $0$.

$U$ 是初等域且 $U\subset D$ \(\\mathcal{F} = \\{f:U\\to \mathbb{D}\| f \\text{ 是全纯的且 } f \\text{ 是单射的 }, f(0)=0 \\}\)

$\mathcal{F} \ne \emptyset$.

$id(z) = z , id \in \mathcal{F}$

定义 $S = \sup (|f’(0)|| f\in \mathcal{F})$. 则 $S<\infty$.

根据 Cauchy 积分公式. $|f’(0)| = |\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(0)} \frac{f(z)}{z^2} dz|$. $r>0$ 满足 $D_r(0) \le U \le \frac{1}{2\pi} \frac{1}{r^2} < \infty$.

如果 $f\in \mathcal{F}$ 且 $f(U) \ne \mathbb{D}$. 则存在 $g\in \mathcal{F}$ 使得 $|g’(0)| > |f’(0)|$.

根据假设 $f$ 不是满射. 则存在 $p\in \mathbb{D}\setminus \operatorname{Im}(f)$.

则存在 $\varphi:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$, $SU(1,1)$ Möbius 变换 $\varphi(z) = \frac{z-p}{1-\bar{p}z}$ 使得 $\varphi(p) = 0$.

显然, 根据前一个引理, $V = \varphi(f(U))\subset \mathbb{D}$ 也是初等域.

$\implies$ $\exists \omega : V\to \mathbb{C}$ 满足 $\omega^2 = z$. 显然 $\omega(V) \subset \mathbb{D}$.

定义 $q:= \omega(\varphi(0))\in \mathbb{D}$ 和 $\psi:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ 满足 $\psi(z) = \frac{z-q}{1-\bar{q}z}$, 最后定义 $g:U\to \mathbb{D}, z\mapsto \psi \circ \omega \circ \varphi \circ f$.

我们可以验证:

$g$ 是全纯的.

$g(U) \subset \mathbb{D}$.

$g(0) = \psi \circ \omega \circ \varphi \circ f(0) = 0$.

$g$ 是单射, 因为所有涉及的函数都是单射的.

$\implies$ $g\in \mathcal{F}$.

只需证明 $|g’(0)| > |f’(0)|$.

考虑 $h:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ 全纯函数 $h(z) = \varphi^{-1} ((\psi^{-1}(z))^2)$. $h$ 不是 Möbius 变换.

根据构造, $h\circ g = f$ 且特别地 $h(0) = 0$ $\implies$ $|h’(0)|<1$, 因为 $h:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ 且根据 Schwarz 引理, $h$ 不是 Möbius 变换.

$\implies$ 根据链式法则, $|h’(0)| |g’(0)| = |f’(0)|$.

$\implies$ $|g’(0)| > |f’(0)|$.

设 $f_n\in \mathcal{F}$ 是一个函数序列, 满足 $\lim_{n\to \infty} |f_n’(0)| = S = \sup (|f’(0)| | f\in \mathcal{F})$. 因为 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 是一致有界的 (按绝对长度 $1$)

Montel 定理给出了一个局部一致收敛的子序列 (不妨一般地) $f_n\to f$ $f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯的.

我们知道 (根据收敛定理)

$S = \lim_{n\to \infty} |f’_n(0)| = |f’(0)|$.

剩下要验证 $f\in \mathcal{F}$, 因为那样 $f:U\to \mathbb{D}$ 是全纯的、单射的且根据前一个引理是满射的.

显然 $f(U) \subset \mathbb{D}$, 因为 $f_n(z) \to f(z), \forall z\in U$.

所以 $|f(z)| \le 1$, $\forall z\in U$ $\implies |f(z)|<1, \forall z\in U$ 根据最大模原理.

$f(0) = \lim_{n\to \infty} f_n(0) = 0$ 且 $f$ 是单射全纯函数的极限, 而且 $f$ 不是常数, 因为 $|f’(0)| >0$.

根据 Hurwitz 定理, $f$ 也是单射的. (因为 $U$ 是连通的).

根据 Caratheodory 定理, 如果边界是连续曲线, 则双全纯映射 $\varphi:U\to D$ 可以连续延拓到边界.

$U:\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{\le 0}$ 可以被单值化扩充. $\varphi(z) = \psi(i\sqrt{z})$, $\psi : \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ 满足 $\psi(\mathbb{\mathbb{H}}) = \mathbb{D}$.

$U= \{z\in \mathbb{C}| |\Re(z)|<1, |\Im(z)|<1\}.$

如果 $\varphi:U\to \mathbb{H}$ 是单值化 (uniformisation), 且 $\varphi$ 连续延拓到 $\mathbb{H}$ 的边界 $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$, 则 Schwarz 反射原理适用.

最终我们得到 (通过反射两次或更多次) 双周期全纯函数 $\mathbb{C} \to \hat{\mathbb{C}}$.

这就是椭圆函数.