Differential Geometry 流形 (Manifolds)

本文档系统介绍流形的基本概念和构造方法。首先建立实$n$维流形的三个基本条件：豪斯多夫性、第二可数性和局部欧几里得性。然后详细介绍坐标卡和图集的概念，通过粘同胚将局部坐标粘合为全局流形。重点分析经典例子：球面$S^n$使用球极投影构造，实射影空间$\mathbb{R}P^n$通过商空间构造，以及纤维丛的通用构造方法。最后讨论仿紧性与第二可数性的等价关系，为光滑结构的引入做好准备。

核心定义

实n-维流形

一个实$n$-维流形是一个拓扑空间 $M$，满足三个条件：

  1. 豪斯多夫性质 (Hausdorff property)：对于任意两点 $x, y\in M$，存在不相交的开集 $U, V$ 使得 $x\in U, y\in V$ 且 $U\cap V=\emptyset$

  2. 第二可数性 (Second countability)：$M$ 具有可数拓扑基

  3. 局部欧几里得性：$M$ 局部同胚于 $\mathbb{R}^n$

坐标卡和图集

局部坐标卡 (Coordinate chart)：对 $(U, \varphi)$，其中 $U\subset M$ 是开集，$\varphi:U\to$\mathbb{R}^n$ 是同胚

图集 (Atlas)：坐标卡的集合 $\{(U_i, \varphi_i)\}_{i\in I}$，满足 $\cup_{i\in I} U_i \supset M$

粘合同胚 (Gluing maps)：如果 $U_{ij} = U_i \cap U_j$，则粘合同胚是

\[\varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}|_{\varphi_i(U_{ij})}: \varphi_i(U_{ij}) \to \varphi_j(U_{ij})\]

重要例子

1. 球面 (Sphere)

$n$维球面 $S^n = \{x\in \mathbb{R}^n : \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1\}$

使用球极投影 (stereographic projection) 构造坐标卡：

  • $U_N = S^n \setminus \{N\}$（去掉北极）
  • $U_S = S^n \setminus \{S\}$（去掉南极）

投影映射：

\[\varphi_N(x_0,x_1,\cdots,x_n) = \frac{1}{1-x_0}(x_1,\cdots,x_n)\] \[\varphi_S(x_0,x_1,\cdots,x_n) = \frac{1}{1+x_0}(x_1,\cdots,x_n)\]

2. 实射影空间 (Real Projective Space)

定义：$\mathbb{R}P^n$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中通过原点的所有直线的集合

构造：定义等价关系 $x\sim y \Leftrightarrow \exists \lambda\in\mathbb{R}^\ast$ 使得 $x=\lambda y$

\[\mathbb{R}P^n = \mathbb{R}^{n+1}\setminus\\{0\\} / \sim\]

性质：

  1. 商投影 $\pi$ 是开映射
  2. $\mathbb{R}P^n$ 是豪斯多夫的
  3. 坐标卡：$U_i = \pi(\{x_i \neq 0\})$，坐标映射 $\varphi_i([x_0,\ldots,x_n]) = x_i^{-1}(x_0,\ldots,\hat{x}_i,\ldots,x_n)$

3. 纤维丛 (Fiber Bundle)

定义：以 $F$ 为纤维、$B$ 为底的纤维丛是三元组 $(E,p,B)$，其中 $p:E\to B$ 是连续满射，满足：

  • 对每个 $x\in B$，存在邻域 $U$ 和同胚 $\Phi:p^{-1}(U)\to U\times F$ 使得 $\pi\circ\Phi = p$

命题：如果 $B$ 和 $F$ 都是流形，则 $E$ 也是流形

重要定理

笛卡尔积

如果 $M_1, M_2$ 是流形，则 $M_1\times M_2$ 也是流形

开子流形

开子集继承流形结构，豪斯多夫性和第二可数性自动满足

子流形性质

$\mathbb{R}^n$ 的 $d$ 维子流形是实 $d$ 维拓扑流形

流形的通用构造

通用构造方法

从可数多个 $V_i\subset\mathbb{R}^n$ 开始，构造步骤：

  1. 选择有限多个 $V_{ij}\subset V_i$
  2. 定义粘合同胚 $\varphi_{ij}:V_{ij}\to V_{ji}$，满足：
    • $\varphi_{ji} = \varphi_{ij}^{-1}$（可逆性）
    • $\varphi_{ij}(V_{ij}\cap V_{il}) = V_{ji}\cap V_{jl}$（相容性）
    • 传递性：$\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij} = \varphi_{ik}$（传递性）
  3. 豪斯多夫性：$\{(x,\varphi_{ij}(x))\}$ 在 $V_{ij}\times V_{ji}$ 中是闭的
  4. $M = \sqcup_{i\in I} V_i / \sim$

仿紧性 (Paracompactness)

定义：$M$ 是仿紧的，如果任何开覆盖都允许局部有限加细

命题：如果 $M$ 是局部欧几里得的且豪斯多夫的，则 $M$ 是第二可数的当且仅当 $M$ 是仿紧的

关键概念总结

概念 英文 说明
流形 Manifold 局部像 $\mathbb{R}^n$ 的拓扑空间
坐标卡 Coordinate chart $(U, \varphi)$ 对
图集 Atlas 坐标卡的集合
粘合同胚 Gluing map $\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$
豪斯多夫性 Hausdorff 任意两点可分离
第二可数性 Second countable 有可数基
纤维丛 Fiber bundle $(E,p,B)$ 三元组
仿紧性 Paracompact 存在局部有限加细

本章要点

  1. 流形的三个基本条件：豪斯多夫性、第二可数性、局部欧几里得性
  2. 经典例子：球面 $S^n$、实射影空间 $\mathbb{R}P^n$
  3. 构造方法：通过粘同胚粘合局部坐标卡
  4. 纤维丛：重要的构造工具，底和纤维是流形时全空间也是流形
  5. 仿紧性：等价于第二可数性（对于局部欧几里得空间）
Written on January 11, 2026