Differential Geometry 光滑流形 (Smooth Manifolds)

本文档在拓扑流形的基础上引入光滑结构。首先建立微分的定义和光滑性层次（$C^k$、$C^\infty$），然后定义光滑流形和微分同胚的概念。重点介绍最大图集的唯一性存在性，以及光滑坐标卡之间的相容性条件。详细讨论可定向性理论，包括保向映射、定向图集和定向流形的刻画。通过球面$S^n$和实射影空间$\mathbb{R}P^n$的例子说明光滑结构的构造方法，最后介绍Grassmann流形作为重要的例子。

微分和光滑性基础

微分的定义

设 $U\subset W$ 是向量空间 $W$ 中的开集，$f:U\to V$ 是映射。

可微性：$f$ 在 $p\in U$ 处可微，如果存在线性映射 $Df(p):W\to V$ 使得：

\[\lim_{x\to 0}\frac{f(p+x)-f(p)-Df(p)(x)}{\\|x\\|} = 0\]

重要性质：

  1. $Df(p)$ 是唯一的
  2. $Df(p)$ 可以表示为雅可比矩阵 (Jacobian ma$trix)
  3. $Df:U\to \text{Hom}(W,V)$，$p\mapsto Df(p)$

光滑性层次

  • $C^1$：连续可微，$Df$ 连续
  • $C^k$：$k$ 次连续可微，存在连续的 $D^kf$
  • $C^\infty$ (光滑)：对所有 $k$，$f\in C^k$
\[C^\infty(U,V) = \bigcap_{k\geq 0} C^k(U,V)\]

光滑流形的定义

光滑图集

定义：图集 $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)\}_{i\in I}$ 是光滑的，如果所有粘合映射

\[\varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}|_{\varphi_i(U_{ij})}\]

都是光滑的（即微分同胚）

光滑相容：两个坐标卡 $(U_1,\varphi_1)$、$(U_2,\varphi_2)$ 是光滑相容的，如果

\[\varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}|_{\varphi_1(U_1\cap U_2)}\]

是微分同胚

光滑流形：具有光滑坐标卡等价类的拓扑流形

最大图集

定义和性质

最大图集 (Maximal atlas)：光滑图集 $\tilde{\mathcal{A}}$ 不真包含于任何其他光滑图集中

命题：

  1. 每个光滑图集 $\mathcal{A}$ 都包含在唯一的最大图集 $\tilde{\mathcal{A}}$ 中
  2. $\mathcal{A}_1$ 和 $\mathcal{A}_2$ 包含在同一个最大图集中当且仅当 $\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2$ 是光滑图集

可定向性 (Orientability)

基本定义

保向线性变换：$A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 称为保向的，如果 $\det A > 0$

保向映射：$f:U\to V$ 是保向的，如果 $\forall p\in U$，$\det Df(p) > 0$

光滑定向相容：$(U,\varphi)$ 和 $(V,\psi)$ 是光滑定向相容的，如果 $\psi\circ\varphi^{-1}$ 是保向的

定向图集：所有坐标卡都定向相容的光滑图集

可定向流形

可定向：流形容许定向图集

定向：选择了定向图集的流形

相反定向：设 $(M,\mathcal{A})$ 是定向流形，$R:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$，$(x_1,\ldots,x_n)\mapsto(x_1,\ldots,-x_n)$ 则 $\bar{\mathcal{A}} = \{(U_\alpha,R\circ\varphi_\alpha)\}$ 是定向图集，$(M,\bar{\mathcal{A}})$ 具有相反定向

命题

设 $(M,\mathcal{A})$ 是定向的，$(U,\varphi)$ 是与 $\mathcal{A}$ 相容的连通坐标卡，则 $(U,\varphi)$ 与 $\mathcal{A}$ 或 $\bar{\mathcal{A}}$ 定向相容

重要例子

1. 球面 $S^n$ 是光滑流形

使用球极投影坐标卡：

  • 豪斯多夫性：$S^2\subset$\mathbb{R}^3$ 继承豪斯多夫性
  • 第二可数性：$\mathbb{R}^3$ 具有可数基
  • 光滑相容性：转移映射
\[\phi_S \circ \phi_N^{-1}(u,v) = \left(\frac{u}{u^2+v^2},\frac{v}{u^2+v^2}\right)\]

在 $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ 上是光滑的微分同胚

2. 实射影空间 $\mathbb{R}P^n$ 是光滑流形

3. 实 Grassmann 流形 (Real Grassmann Manifold)

定义：$G(k,n)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的所有 $k$ 维子空间的集合

命题：$G(k,n)$ 是 $k(n-k)$ 维光滑流形

关键概念总结

| 概念 | 英文 说明    
  可微 Differentiable 存在线性映射 $Df(p)$ |
| 光滑 Smooth ($C^\infty$) | 任意次连续可微 |    
  微分同胚 Diffeomorphism 光滑同胚，逆也光滑
  光滑图集 Smooth atlas 粘合映射光滑
  最大图集 Maximal atlas 不真包含于其他图集
  可定向 Orientable 容许定向图集
  保向 Orientation-preserving $\det > 0$ |
| Grassmann流形 Grassmann manifold $\mathbb{R}^n$ 的 $k$ 维子空间集合  

本章要点

  1. 光滑性：$C^\infty$ 意味着任意次连续可微
  2. 微分同胚比同胚更强：需要光滑且逆也光滑
  3. 最大图集是光滑结构的完整描述
  4. 可定向性是流形的重要性质，与体积形式的定义相关
  5. Grassmann流形提供了重要的例子，包括射影空间

可定向性总结

  • $S^n$：可定向
  • $\mathbb{R}P^n$：当 $n$ 为奇数时可定向，$n$ 为偶数时不可定向
Written on January 11, 2026