Differential Geometry 光滑映射 (Smooth Maps)

本文档系统介绍流形之间的光滑映射理论。首先定义函数和映射的光滑性，通过坐标卡局部刻画光滑映射。重点介绍单位分解理论，包括延拓引理和Bump函数的构造，这是从局部性质过渡到全局性质的关键工具。通过光滑函数的代数刻画，建立流形与其光滑函数代数谱之间的双射关系。最后介绍李群的基本概念，展示群结构与光滑结构的完美结合。

光滑映射的定义

函数的光滑性

定义：设 $M$ 是光滑流形，$f:M\to\mathbb{R}$ 在 $p\in M$ 处光滑，如果存在包含 $p$ 的坐标卡 $(U,\varphi)$ 使得 $f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\mathbb{R}$ 在 $\varphi(p)$ 处光滑

注记：由光滑流形定义，这个定义是良定义的（与坐标卡选择无关）

流形间映射的光滑性

定义：设 $M$、$N$ 是光滑流形，$\dim M=m$，$\dim N=n$。$f:M\to N$ 在 $p\in M$ 处光滑，如果存在：

  • 包含 $p$ 的坐标卡 $(U,\varphi)$
  • 包含 $f(p)$ 的坐标卡 $(V,\psi)$

使得 $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ 在 $\varphi(p)$ 处光滑

记号：

  • $f \in C^\infty(M)$：$f$ 在任意 $p\in M$ 处光滑
  • $f \in C^\infty(M,N)$：$f:M\to N$ 在任意 $p\in M$ 处光滑
  • 微分同胚：$f^{-1}:N\to M$ 存在且 $f^{-1} \in C^\infty(N,M)$

单位分解 (Partition of Unity)

定义

从属于开覆盖 $\{U_\alpha\}$ 的单位分解是光滑函数族 $\{\chi_\alpha\}\subset $C^\infty(M)$，满足：

  • $0 \leq \chi_\alpha \leq 1$
  • $\text{supp }\chi_\alpha \subset U_\alpha$
  • $\sum_\alpha \chi_\alpha = 1$
  • $\{\chi_\alpha\}$ 是局部有限的（每点只与有限多个 $\text{supp }\chi_\alpha$ 相交）

重要引理

延拓引理

设 $U\subset M$ 是开集，$g\in C^\infty(U)$。如果 $\text{supp}_U g$ 在 $M$ 中是闭的，则 $\exists f\in C^\infty(M)$ 使得：

  • $f|_{M\setminus U} = 0$
  • $f = g$ 在 $U$ 上

Bump 函数

对于 $0<r<R$，$\exists f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ 使得：

  • $\text{supp }f \subset B_R(0)$
  • $f = 1$ 在 $B_r(0)$ 上

构造：

\(h(t) = \begin{cases} 0 & t\leq 0\\ e^{-1/t} & t>0 \end{cases}\)$

\[f(\mathbf{x}) = 1 - \frac{h(\|\mathbf{x}\|-r)}{h(|\mathbf{x}|-r) + h(R-\|\mathbf{x}\|)}\]

单位分解的存在性

命题：对于 $M$ 的任意开覆盖 $\{U_\alpha\}$，存在单位分解 $\{\chi_\alpha\}$，且满足局部有限性

光滑函数的代数刻画

谱 (Spec$trum)

定义：对于实代数 $A$，定义

\[\operatorname{spec} A = \\{\text{非零代数同态 } A\to$\mathbb{R}$\\}\]

赋值映射：$\operatorname{ev}_p : C^\infty(M)\to\mathbb{R}$，$f\mapsto f(p)$ 是代数同态，即 $\operatorname{ev}_p\in\operatorname{spec} C^\infty(M)$

主要定理

定理：映射 $M\to\operatorname{spec} C^\infty(M)$，$p\mapsto\operatorname{ev}_p$ 是双射

证明概要：

  1. 单射性：对于 $p\neq q$，$M$ 豪斯多夫 $\Rightarrow \exists f\in C^\infty(M)$ 使得 $f(p)\neq f(q)$ $\Rightarrow \operatorname{ev}_p\neq\operatorname{ev}_q$
  2. 满射性：$\forall \varphi\in\operatorname{spec} A$，构造 $p$ 使得 $\varphi=\operatorname{ev}_p$
    • $Z(\ker\varphi) = \{x\in M | f(x)=0, \forall f\in \ker\varphi \} \neq \emptyset$
    • 如果 $p\neq q\in Z(\ker\varphi)$，导致矛盾
    • 因此 $Z(\ker\varphi) = \{p\}$，且 $\ker\varphi = I_p$（极大理想）
    • $\varphi(f) = \operatorname{ev}_p(f) = f(p)$

李群 (Lie Group)

定义

李群是具有光滑结构的群 $G$，使得：

  • 乘法 $m:G\times G\to G$ 是光滑映射
  • 逆 $i:G\to G$ 是光滑映射

李群结合了代数结构（群）和几何结构（光滑流形）

关键概念总结

概念 英文 说明
光滑映射 Smooth map $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ 光滑
微分同胚 Diffeomorphism 光滑同胚，逆也光滑
单位分解 Partition of Unity 局部有限的光滑函数族
Bump函数 Bump function 紧支集的光滑函数
谱 Spectrum 非零代数同态的集合
赋值映射 Evaluation map $\operatorname{ev}_p(f)=f(p)$
李群 Lie group 群结构+光滑结构

本章要点

  1. 光滑映射通过坐标卡局部定义
  2. 单位分解是流形上的强大工具，允许局部到全局的延拓
  3. Bump函数的存在性是单位分解构造的关键
  4. 代数刻画：流形可以由其光滑函数代数完全确定
  5. 李群结合了群论和微分几何
Written on January 11, 2026