Differential Geometry 子流形 (Submanifolds)

本文档详细介绍子流形的理论和光滑映射的局部结构。首先给出子流形的严格定义，说明子流形如何继承流形结构。重点介绍常数秩定理，这是分析映射局部结构的核心工具。通过秩的概念分类光滑映射：浸没（满射）、浸入（单射）和嵌入（单射浸入且同胚）。利用正则值理论提供构造子流形的重要方法。最后通过具体例子说明逆函数定理和隐函数定理的应用。

子流形的定义

基本定义

子流形：子集 $S\subset M^m$ 是维数为 $k(\leq m)$ 的子流形，如果 $\forall p\in S$，$\exists M$ 在 $p$ 周围的坐标卡 $(U,\varphi)$ 使得：

\[\varphi(U\cap S) = \varphi(U) \cap $\mathbb{R}^k\]

子流形坐标卡：$(U,\varphi)$ 称为 $S$ 的子流形坐标卡

余维 (Codimension)：如果 $S$ 是 $k$ 维，$M$ 是 $m$ 维，则 $S$ 的余维是 $m-k$

命题：子流形是流形

命题：假设 $S$ 是 $M$ 的子流形。则：

  1. $S$ 是 $k$ 维光滑流形
  2. 其图集由 $\{(U\cap S,\varphi’)\}$ 组成，其中 $\varphi’ = \pi\circ\varphi _{U\cap S}$，$\pi:\mathbb{R}^m\to$\mathbb{R}^k$ 是投影
  3. 包含 $\iota:S\hookrightarrow M$ 是光滑的

光滑映射的局部结构

秩 (Rank)

定义：$f\in C^\infty($\mathbb{R}^m,$\mathbb{R}^n)$ 在 $p\in M$ 处的秩是其雅可比矩阵的秩：

\[Df(p) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}(p)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m}(p) \end{pmatrix}\]

对于流形间的映射 $f:M\to N$，$\operatorname{rank}_p f = \operatorname{rank}_{\varphi(p)}(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})$

性质：$\operatorname{rank} Df(p) \leq \min(m,n)$

最大秩

定义：$f$ 在 $p$ 处具有最大秩，如果 $\operatorname{rank}_p f = \min\{m,n\}$

常数秩：$f$ 具有常数秩 $k$，如果 $\operatorname{rank}_p f = k$，$\forall p\in M$

重要定理

逆函数定理 (Inverse Function Theorem)

定理：设 $f\in C^\infty(M,N)$，$\dim M = \dim N = m$。如果对于某个 $p\in M$，$\operatorname{rank}_p F = m$，则 $\exists p$ 的邻域 $U$ 使得 $f|_U$ 是微分同胚

局部微分同胚：$f\in C^\infty(M,N)$ 是局部微分同胚，如果 $\forall p\in M$，$\exists U\ni p$ 使得 $f|_U$ 是微分同胚

常数秩定理 (Constant Rank Theorem)

定理：设 $f:M^m\to N^n$ 光滑。如果 $Df$ 在 $p$ 的邻域中具有秩 $k$，则存在：

  • $p$ 周围的坐标卡 $(U,\varphi)$
  • $f(p)$ 周围的坐标卡 $(V,\psi)$

使得：

\[\psi \circ f \circ \varphi^{-1}(x_1,\cdots,x_m) = (x_1,\cdots,x_k,0,\cdots,0)\]

推论：$f:M\to N$ 光滑，$Df(p)$ 在所有点具有常数秩 $k$ $\Rightarrow$ $\forall q\in f(M)$，$f^{-1}(q)\subset M$ 是余维 $k$ 的子流形

正则值和临界值

定义

对于 $f\in C^\infty(M,N)$：

正则点 (Regular point)：$T_p f$ 具有最大秩的点 $p$

临界点 (Critical point)：$T_p f$ 不具有最大秩的点 $p$

正则值 (Regular value)：$q\in N$ 是正则值，如果 $f^{-1}(q)$ 中所有点都是正则点

临界值 (Critical value)：$q\in N$ 是临界值，如果 $f^{-1}(q)$ 包含至少一个临界点

浸没、浸入和嵌入

浸没 (Submersion)

定义：$Df(p)$ 在 $\forall p\in M$ 处满射

命题：$Df(p)$ 在 $p$ 处满射 $\Rightarrow U\cap f^{-1}(q)$ 是子流形，其中 $U$ 是 $p$ 的邻域

浸入 (Immersion)

定义：$Df(p)$ 在 $\forall p\in M$ 处单射

命题：$Df(p)$ 在 $p$ 处单射 $\Rightarrow f(U)$ 是 $N$ 的子流形，$U$ 是 $p$ 的邻域

嵌入 (Embedding)

定义：到其像为同胚的单射浸入

命题：$f:M\to N$ 嵌入 $\Rightarrow f(M)$ 是 $N$ 的维数为 $m$ 的子流形

重要例子

1. 正则值的例子

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，$(x_1,\cdots,x_n)\mapsto x_1^2+\cdots+x_n^2$

  • $Df(p) = (2x_1,\cdots,2x_n)$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上具有秩 $1$
  • $f^{-1}(1) = S^{n-1}$ 是 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 的余维 $1$ 的子流形

2. $\mathbb{R}^3$ 中的例子

设 $f\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$，$S = f^{-1}(0)$

对于 $p\in S$，如果 $(\partial f/\partial x)_p\neq 0$，则隐函数定理 (IFT) 说明在 $p$ 的邻域上可以求解

推论：如果 $\nabla f = (\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z) \neq 0$，$\forall p\in S$，则 $f^{-1}(0)=S$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子流形

关键概念总结

概念 英文 线性代数条件
子流形 Submanifold 局部平坦嵌入
余维 Codimension $m-k$
秩 Rank 雅可比矩阵的秩
最大秩 Maximal rank $\operatorname{rank} = \min(m,n)$
常数秩 Constant $rank 各点秩相同
浸没 Submersion 满射 $Df$
浸入 Immersion 单射 $Df$
嵌入 Embedding 单射浸入+同胚
正则值 Regular value 原像都是正则点

本章要点

  1. 子流形：局部上像坐标平面
  2. 秩：雅可比矩阵的秩决定映射的局部性质
  3. 三大类映射：
    • 浸没 (Submersion)：满秩，原像是子流形
    • 浸入 (Immersion)：单射，像局部是子流形
    • 嵌入 (Embedding)：全局像也是子流形
  4. 常数秩定理是分析映射局部结构的强大工具
  5. 正则值提供了构造子流形的重要方法
Written on January 11, 2026