本文档引入切空间的核心概念，这是理解流形上微积分的基础。给出切向量的三种等价定义：曲线表示、偏导数表示和莱布尼茨法则刻画。证明切空间的维数定理，说明 $\dim T_pM = \dim M$。详细介绍切丛的构造和性质，说明其作为向量丛的结构。研究切映射（诱导映射）的性质和链式法则，给出局部坐标下的雅可比矩阵表示。最后介绍李代数的概念，说明李括号的封闭性。

切空间的定义

核心问题

给定光滑映射 $F:M^m\to N^n$，$DF$ 是什么？

• $DF$ 的定义域或值域是什么？
• 对于 $f:M\to\mathbb{R}$，$df$ 是什么？

定义：切向量

切空间 $T_pM$：在点 \(p\in M\) 处的切向量是满足以下条件的线性泛函 $v:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ 的集合：

对于某条曲线 $\gamma:I\to M$，$\gamma(0)=p$

切空间的维数定理

定理：$T_pM$ 是有限维向量空间，且 $\dim T_pM = \dim M$

证明要点：

1. 在局部坐标下，$\vec{v}(f) = \sum_{i=1}^n a_i \frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{\varphi(p)}$
2. 可以将 $v$ 视为 $\operatorname{span}_\mathbb{R}\{\partial/\partial x_1,\ldots,\partial/\partial x_n\}$ 中的元素

三种等价定义

1. 曲线表示

对于某条曲线 $\gamma$，$\gamma(0)=p$

2. 偏导数表示

在局部坐标卡中：

3. 莱布尼茨法则 (Leibniz Rule)

线性映射 $v:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ 满足：

定理：给定线性映射 $v:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$，

$\vec{v} \in T_pM \iff \vec{v} \text{ 满足乘积法则}$

坐标变换

推论：坐标变换公式

设 v$\in $T_pM，(U,$\varphi$)、(V,$\psi$) 是两个坐标卡，则：

其中：

切丛 (Tangent Bundle)

定义和构造

切丛
$ TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM $，
投影映射 $ \pi: TM \to M $，满足 $ v \in T_pM \mapsto p $。

光滑结构：通过坐标卡 $ (U_i, \varphi_i) $ 构造

• 映射 $ \Phi: \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbb{R}^n \to \varphi(U) \times \mathbb{R}^n $，
• 具体地，$ v \in T_pM \mapsto (p, a) \mapsto (\varphi(p), a) $。

命题：$ (TM, \pi) $ 是一个纤维丛，且 $ \pi $ 是光滑映射。

诱导映射

切映射 (Tangent Map)

设 $ F: M \to N $ 为光滑映射。在局部坐标下，$ F $ 由
\(\psi_\alpha \circ F \circ \varphi_i^{-1}\)
给出。

诱导映射 $ DF: TM \to TN $ 满足如下交换图：

TM --DF--> TN
|          |
π          π
|          |
M ---F---> N

局部表达式（即 $ TF $）：
若局部表示 $ f_{i\alpha} $ 为
\((x_1, \dots, x_m) \mapsto (y_1, \dots, y_n),\)
则其切映射作用为： \((Df_{i\alpha})(p) \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_m} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix}.\)

链式法则

命题：若 $ h = f \circ g $ 是光滑映射，则
\(Df \circ Dg = Dh.\)

正则值和临界点

定义

设 $ f: M \to N $ 为光滑映射：

• $ q \in N $ 是 正则值：若对所有 $ p \in f^{-1}(q) $，切映射 $ T_p f $ 是满射；
• $ q \in N $ 是 临界值：若存在 $ p \in f^{-1}(q) $ 使得 $ T_p f $ 不是满射；
• $ p \in M $ 是 临界点：若 $ T_p f $ 不具有最大秩；
• $ p \in M $ 是 正则点：否则。

命题：正则值的切空间

设 $ F: M^m \to N^n $ 光滑，且 $ q \in N $ 是正则值（其中 $ m \geq n $）。令
\(S = F^{-1}(q),\)
则 $ S \subset M $ 是一个余维数为 $ n $ 的子流形，且对任意 $ p \in S $，有
\(T_p S = \ker(T_p F) \subseteq T_p M.\)

李代数 (Lie Algebra)

矩阵李群

定义：若李群 $ G $ 是 $ M(n, \mathbb{R}) $ 的子流形，则称 $ G $ 为 矩阵李群。

李代数：
\(\mathfrak{g} = T_I G,\)
即 $ G $ 在单位元 $ I $ 处的切空间。

李括号

命题：若 $ X, Y \in \mathfrak{g} $，则
\([X, Y] = XY - YX \in \mathfrak{g}.\)

证明要点：考虑共轭作用 $ \lambda(t) X \lambda(t)^{-1} \in \mathfrak{g} $，对其关于 $ t $ 求导（在 $ t=0 $ 处），可得 $ [Y, X] = YX - XY \in \mathfrak{g} $。

重要例子

1. $ \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) $

• $ G = \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) $（所有可逆 $ n \times n $ 实矩阵）是 $ M(n, \mathbb{R}) $ 中的开子集；
• 李代数：
  \(\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) = M(n, \mathbb{R}).\)

2. $ \mathrm{O}(n, \mathbb{R}) $（正交群）

• 定义：
  \(\mathrm{O}(n, \mathbb{R}) = \{ A \in M(n, \mathbb{R}) \mid A^\top A = I \}.\)
• 考虑光滑映射
  \(F: M(n, \mathbb{R}) \to \mathrm{Sym}(n, \mathbb{R}), \quad A \mapsto A^\top A.\)
• 切映射在单位元处为：
  \(T_I F(X) = X^\top + X.\)
• 李代数：
  \(\mathfrak{o}(n, \mathbb{R}) = \ker(T_I F) = \{ X \in M(n, \mathbb{R}) \mid X^\top + X = 0 \},\)
  即所有反对称矩阵。

关键概念总结

本章要点

1. 切空间的三种等价定义，各有用途
2. 切丛 $TM$ 是流形上的重要向量丛
3. 切映射 $DF$ 提供了光滑映射的线性化
4. 李代数 是李群在单位元处的切空间，李括号保持封闭
5. 正则值的切空间是原切空间的子空间