本文档系统介绍de Rham上同调理论，这是微分几何和代数拓扑的重要桥梁。首先定义de Rham复形和上同调群，建立闭形式和恰当形式的商空间。通过$S^1$的详细计算说明上同调群的计算方法。重点证明同伦不变性定理，说明上同调是同伦不变量。作为重要推论，给出Poincaré引理，说明$\mathbb{R}^n$的上同调性质。详细介绍Stokes定理，这是微积分基本定理的推广。引入Mayer-Vietoris序列，提供计算上同调的强大工具。最后给出积分同构定理和紧支集Poincaré引理。

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de Rham 复形和上同调

上链复形 (Chain Complex)

de Rham 复形：

\[0\to \Omega^0 \xrightarrow{d} \Omega^1 \xrightarrow{d} \cdots \xrightarrow{d} \Omega^n \to 0\]

记为 $(\Omega^\bullet,d)$

上同调群的定义

上闭链 (Z-cocycles)：

\[Z^k_{dR}(M) = \ker d^k = \{\alpha\in\Omega^k(M) \mid d\alpha = 0\}\]

上边缘 (B-coboundaries)：

\[B^k_{dR}(M) = \text{im}\,d^{k-1} = \{d\beta \mid \beta\in\Omega^{k-1}(M)\}\]

de Rham 上同调群：

\[H^k_{dR}(M) = Z^k_{dR}(M)/B^k_{dR}(M)\]

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$S^1$ 的上同调计算

$H^0_{dR}(S^1)$

• $\Omega^0(S^1)$：光滑函数 $f:S^1\to\mathbb{R}$（$2\pi$-周期函数）
• $d$ 的核：常值函数
• 结果：$H^0_{dR}(S^1) \cong \mathbb{R}$

$H^1_{dR}(S^1)$

• $\Omega^1(S^1)$：形如 $g(\theta)d\theta$ 的形式
• $d$ 的核：所有 1-形式
• $d$ 的像：恰当形式 $f’(\theta)d\theta$

关键：$g(\theta)d\theta$ 是恰当的 $\Leftrightarrow$ $\int_0^{2\pi} g(\theta)d\theta = 0$

例子：$d\theta$ 是闭的但不是恰当的

• $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \neq 0$
• $[d\theta] \in H^1_{dR}(S^1)$ 是非平凡的

同构：

\[H^1_{dR}(S^1) \cong \mathbb{R},\quad [g(\theta)d\theta] \mapsto \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(\theta)d\theta\]

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同伦不变性

同伦不变性定理

定理：如果 $f,g:M\to N$ 光滑同伦，则在上同调上 $f^* = g^*$

推论：如果 $M,N$ 光滑同伦，则 $H^\bullet_{dR}(M) \cong H^\bullet_{dR}(N)$

Poincaré引理 (Poincaré Lemma)

推论：因为 $\mathbb{R}^n \cong *$（单点），

\[H^\bullet_{dR}(\mathbb{R}^n) = \begin{cases} \mathbb{R} & n=0\\ 0 & n>0 \end{cases}\]

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积分和 Stokes 定理

积分的定义

定向流形上的积分：对于定向 n-流形 M，存在唯一线性映射：

\[\int_M : \Omega^n_c(M) \to \mathbb{R}\]

满足：如果 $h:V\to U$ 是保向微分同胚，$\alpha\in \Omega^n_c(M)$，$\text{supp } \alpha\subset U$，则

\[\int_M \alpha = \int_V h^*\alpha\]

Stokes 定理 (Stokes’ Theorem)

全局 Stokes 定理：

设 $(M,\partial M)$ 定向，$\alpha\in \Omega^{n-1}_c(M)$，$j:\partial M\to M$ 由外法定向，则：

\[\int_M d\alpha = \int_{\partial M} j^*\alpha\]

推论：如果 M 紧、无边界、可定向，则 $H^n_{dR}(M) \neq 0$

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Mayer-Vietoris 序列

长正合序列

定理：短正合序列诱导长正合序列：

\[\cdots \to H^{k-1}(U\cap V) \to H^k(U\cup V) \to H^k(U)\oplus H^k(V) \to H^k(U\cap V) \to H^{k+1}(U\cup V) \to \cdots\]

$S^n$ 的上同调

使用 $S^n = U\cup V$，其中 $U,V \cong$ 点，$U\cap V \cong S^{n-1}$：

\[H^k(S^n) = \begin{cases} \mathbb{R} & k=0,n\\ 0 & \text{其他} \end{cases}\]

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积分同构

定理

定理：设 M 是连通、闭、定向的 n-维流形，则：

\[\int_M : H^n(M) \to \mathbb{R}\]

是同构

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关键概念总结

概念	英文	符号	说明
de Rham复形	de Rham Complex	$(\Omega^\bullet,d)$	外微分的复形
上闭链	Cocycle	$Z^k_{dR}$	$d\alpha=0$
上边缘	Coboundary	$B^k_{dR}$	$\alpha=d\beta$
上同调群	Cohomology Group	$H^k_{dR}$	$Z^k/B^k$
同伦不变性	Homotopy Invariance	-	同伦映射诱导相同同调
Poincaré引理	Poincaré Lemma	-	$\mathbb{R}^n$ 的上同调平凡
Stokes定理	Stokes’ Theorem	$\int_M d\alpha = \int_{\partial M} \alpha$	微积分基本定理推广
Mayer-Vietoris	Mayer-Vietoris Sequence	长正合序列	计算上同调的工具
定向	Orientation	$[\sigma]$	非零 n-形式的等价类

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上同调计算表

流形	$H^0$	$H^1$	$H^2$	$H^3$	…	$H^n$
点	$\mathbb{R}$	0	0	0	…	0
$S^1$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	0	0	…	0
$S^2$	$\mathbb{R}$	0	$\mathbb{R}$	0	…	0
$S^n$	$\mathbb{R}$	0	0	0	…	$\mathbb{R}$
$\mathbb{R}^n$	$\mathbb{R}$	0	0	0	…	0

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本章要点

1. de Rham上同调衡量闭形式和恰当形式的差别

2. 同伦不变性：上同调是同伦不变量，是拓扑不变量

3. Poincaré引理：$\mathbb{R}^n$ 的高阶上同调消失

4. Stokes定理：连接了外微分和边界积分，是微积分基本定理的推广

5. Mayer-Vietoris序列：提供了计算上同调的强大工具

6. 积分：$H^n(M)\to\mathbb{R}$ 是同构（对于闭定向连通流形）