Differential Geometry 经典微分几何 (Classical Differential Geometry)

本文档系统介绍经典微分几何的核心内容。首先建立Riemann度量的概念，包括第一基本形式和诱导度量。详细介绍曲线的曲率理论，包括弧长参数化、Frenet标架和挠率。研究曲面的曲率，通过第二基本形式定义Weingarten映射，引入高斯曲率K和平均曲率H。重点证明Gauss绝妙定理，说明高斯曲率只依赖于第一基本形式（内在不变量）。介绍Cartan形式体系，给出结构方程的优雅表达。最后通过Gauss-Bonnet定理展示几何（曲率）与拓扑（Euler示性数）的深刻联系。

Riemann 度量

定义

Riemann 度量：截面 $g\in \Gamma^\infty(M, \text{Sym}^2T^*M)$，在每点满足：

  1. 非退化
  2. 正定

局部表示：在坐标 $(x^1,\ldots,x^n)$ 下：

\[g = \sum_{i,j} g_{ij}dx^i\otimes dx^j\]

其中 $g_{ij} = g_{ji}$（对称性）

第一基本形式 (First Fundamental Form)：

\[I = \sum g_{ij}dx^idx^j = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2\]

曲线的曲率

弧长参数化

弧长：$s(t) = \int_{a}^{t} |\gamma’(t)| dt$

单位速率参数化：$ d\gamma/ds = 1$

曲率 (Curvature)

曲率：$\kappa = |\gamma’‘(s)|$

有号曲率 (Signed curvature)：$\kappa_s = \gamma’‘(s)\cdot n$

Frenet 标架

对于 $\mathbb{R}^3$中的曲线：

  • 切向量：$t = \gamma’(s)$
  • 法向量：$n = (1/\kappa)t’$
  • 副法向量：$b = t\times n$

Frenet-Serret 公式

\[\begin{cases} \vec{t}' = \kappa\vec{n}\\ \vec{b}' = -\tau\vec{n}\\ \vec{n}' = -\kappa\vec{t} + \tau\vec{b} \end{cases}\]

曲面的曲率

第二基本形式 (Second Fundamental Form)

定义：偏离 $\Delta\sigma\cdot n$（沿法向量 n）的二阶展开

矩阵表示：

\[\begin{pmatrix} L & M\\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{uu}\cdot\vec{n} & \sigma_{uv}\cdot\vec{n}\\ \sigma_{uv}\cdot\vec{n} & \sigma_{vv}\cdot\vec{n} \end{pmatrix}\]

第二基本形式：$II = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2$

Weingarten 映射 (形状算子)

Weingarten 映射 (Shape operator)：$W = -T_pG$

其中 $G:S\to S^2$，$p\mapsto n_p$（Gauss 映射）

曲率的分类

主曲率 (Principal Curvatures)：$W$ 的特征值 $k_1,k_2$

高斯曲率 (Gaussian Curvature)：$K = \det W = k_1k_2$

平均曲率 (Mean Curvature)：$H = \frac{1}{2}\text{trace } W = \frac{1}{2}(k_1+k_2)$

公式：

\[K = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}\] \[H = \frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}\]

Gauss 方程和绝妙定理

绝妙定理 (Theorema Egregium)

定理 (Gauss)：高斯曲率 $K$ 只依赖于第一基本形式及其导数

推论：如果 $f:(M,g)\to(N,h)$ 是曲面的局部等距，则 $K_M(p) = K_N(f(p))$

等距 (Isometry)：$f$ 是等距，如果 $g = f^*h$

Cartan 形式体系

活动标架

正交标架 (Orthonormal frame)：${E_1,E_2,E_3}$ 满足 $g_0(E_i,E_j) = \delta_{ij}$

适应标架 (Adapted frame)：$E_1,E_2$ 切于 S，$E_3$ 法向于 S

Cartan 结构方程

第一结构方程：

  1. $d\theta_1 = \omega_{12}\wedge\theta_2$
  2. $d\theta_2 = \omega_{21}\wedge\theta_1$

第二结构方程：

  1. $d\omega_{12} = \omega_{13}\wedge\omega_{32}$（Gauss 方程）
  2. $d\omega_{13} = \omega_{12}\wedge\omega_{23}$（Codazzi 方程）
  3. $d\omega_{23} = \omega_{21}\wedge\omega_{13}$

推论

推论：$d\omega_{12} = -K\theta_1\wedge\theta_2$，其中 $K$ 是 Gauss 曲率

测地线和 Gauss-Bonnet 定理

Gauss-Bonnet 定理 (Gauss-Bonnet Theorem)

定理：对于紧定向曲面 $(S,\partial S)$ 和任意 Riemann 度量 $g$：

\[\iint_S K\,dA + \int_{\partial S} k_g\,ds = 2\pi\chi(S)\]

其中 $\chi(S)$ 是 Euler 示性数 (Euler characteristic)

关键概念总结

概念 英文 符号 说明
Riemann 度量 Riemannian Metric $g$ 正定对称 2-张量
第一基本形式 First Fundamental Form $I$ 长度度量
第二基本形式 Second Fundamental Form $II$ 弯曲度量
高斯曲率 Gaussian Curvature $K$ $k_1k_2$
平均曲率 Mean Curvature $H$ $(k_1+k_2)/2$
主曲率 Principal Curvatures $k_1,k_2$ Weingarten 映射特征值
弧长 Arc Length $s(t)$ $\int|\gamma’(t)|dt$
Frenet 标架 Frenet Frame $\{t,n,b\}$ 曲线的活动标架
测地线 Geodesic $k_g=0$ “最短”曲线
Euler 示性数 Euler Characteristic $\chi(S)$ $V-E+F$

重要定理

定理1：Gauss 绝妙定理

$K$ 只依赖于第一基本形式（内在不变量）

定理2：Gauss-Bonnet 定理

\[\int_S K dA + \int_{\partial S} k_g ds = 2\pi\chi(S)\]

本章要点

  1. Riemann 度量提供了流形上的长度和角度概念

  2. 曲线的曲率：$\kappa$ 衡量偏离直线的程度，$\tau$ 衡量偏离平面的程度

  3. 曲面的曲率：
    • $K$：内在曲率（Gauss 曲率）
    • $H$：外在曲率（平均曲率）

  4. 绝妙定理：$K$ 是内在不变量，开创了内在几何学

  5. Gauss-Bonnet 定理：连接了几何（曲率）和拓扑（Euler 示性数）

  6. Cartan 形式体系：提供了优雅的计算框架
Written on January 11, 2026