Numerical Analysis II Sobolev 空间简介

本文档介绍Sobolev空间的基本理论，包括广义导数、Sobolev空间的定义和性质、常用不等式以及嵌入理论等内容，为后续数值分析方法提供理论基础。

Sobolev 空间简介

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是一个连通的开区域，$\partial \Omega$ 为 $\Omega$ 的边界。

  • $C^m(\Omega) = { f \in \Omega \text{ 内的 } m \text{ 次连续可微函数 } }$

  • $C_0^m(\Omega) = { f \in \Omega \text{ 内具有紧支集的 } m \text{ 次连续可微函数 } }$

  • $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ 为多重指标，$|\alpha| = \sum_{j=1}^n \alpha_j$

Definition 设 $u \in L_{loc}^1(\Omega)$，若存在 $v_\alpha \in L_{loc}^1(\Omega)$ 使得 \(\int_\Omega v_\alpha \phi \, dx = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega u \partial^\alpha \phi \, dx, \quad \forall \phi \in C_0^\infty(\Omega),\) 则称 $v_\alpha$ 是 $u$ 关于 $\alpha$ 的一个 $|\alpha|$ 阶广义偏导数或弱偏导数，记作 $\partial^\alpha u = v_\alpha$。

Definition 设 $m$ 为非负整数，$1 \leq p \leq \infty$，令 \(W^{m,p}(\Omega) = \{ u \in L^p(\Omega) : \partial^\alpha u \in L^p(\Omega), \, \forall \alpha, \, 0 \leq |\alpha| \leq m \}.\) $L^p(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上 $p$ 次 Lebesgue 可积函数所构成的空间。集合 $W^{m,p}(\Omega)$ 上定义范数： \(\| u \|_{m,p,\Omega} = \begin{cases} \left( \sum_{|\alpha| \leq m} \| \partial^\alpha u \|_{0,p,\Omega}^p \right)^{1/p}, & 1 \leq p < \infty, \\ \max_{0 \leq |\alpha| \leq m} \| \partial^\alpha u \|_{0,\infty,\Omega}, & p = \infty. \end{cases}\) 所得到的线性赋范空间称为一个 Sobolev 空间，记为 $W^{m,p}(\Omega)$。

  • $W^{m,p}(\Omega)$ 是一个 Banach 空间。

  • $W^{m,2}(\Omega)$ 是一个 Hilbert 空间，记为 $H^m(\Omega)$。

Theorem 若 $\partial \Omega$ Lipschitz 连续，$1 \leq p < \infty$，则 $C^\infty(\overline{\Omega})$ 在 $W^{m,p}(\Omega)$ 中稠密，即 $W^{m,p}(\Omega)$ 为 $C^\infty(\overline{\Omega})$ 在范数 $| \cdot |_{m,p}$ 下的完备化空间。

记 $W_0^{m,p}(\Omega)$ 为 $C_0^\infty(\Omega)$ 在 $W^{m,p}(\Omega)$ 中的闭包，则：

  • $W_0^{m,p}(\Omega)$ 是一个 Banach 空间。

  • $W_0^{m,2}(\Omega)$ 是一个 Hilbert 空间，记为 $H_0^m(\Omega)$。

常用不等式

Minkowski 不等式

对 $1 \leq p \leq \infty$，$f, g \in L^p(\Omega)$，有 \(\| f + g \|_{0,p,\Omega} \leq \| f \|_{0,p,\Omega} + \| g \|_{0,p,\Omega}.\)

Hölder 不等式

对 $1 \leq p, q \leq \infty$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则 $\forall f \in L^p(\Omega)$，$g \in L^q(\Omega)$，有 $f \cdot g \in L^1(\Omega)$ 且 \(\| fg \|_{0,1,\Omega} \leq \| f \|_{0,p,\Omega} \| g \|_{0,q,\Omega}.\)

Cauchy-Schwarz 不等式

\[\| fg \|_{0,1,\Omega} \leq \| f \|_{0,2,\Omega} \| g \|_{0,2,\Omega}.\]

Poincaré-Friedrichs 不等式

设 $\Omega$ 具有有限宽度，宽度记为 $d$，则存在常数 $K = K(n,m,p,d)$ 使得 \(\| u \|_{m,p,\Omega} \leq \| u \|_{m,p,\Omega} \leq K \| u \|_{m,p,\Omega}, \quad \forall u \in W_0^{m,p}(\Omega).\) 其中 \(\| u \|_{m,p,\Omega} = \left( \sum_{|\alpha| = m} \| \partial^\alpha u \|_{0,p,\Omega}^p \right)^{1/p}.\) 若 $\Omega$ 有界连通，$\partial \Omega$ Lipschitz 连续，则存在 $\gamma_1, \gamma_2 > 0$ 使得 \(\gamma_1 \| u \|_{1,2,\Omega} \leq \left| \int_\Omega u \, dx \right| + \| u \|_{1,2,\Omega} \leq \gamma_2 \| u \|_{1,2,\Omega}, \quad \forall u \in H^1(\Omega).\)

嵌入理论

设 $X, Y$ 为 Banach 空间，其范数分别为 $| \cdot |_X, | \cdot |_Y$。若 $\forall x \in X$，有 $x \in Y$，且存在常数 $C$ 使得 \(\| x \|_Y \leq C \| x \|_X, \quad \forall x \in X,\) 则称 $X$ 嵌入到 $Y$，记为 $X \hookrightarrow Y$。若 $X$ 中的任意有界闭集为 $Y$ 中的紧集，则称 $X$ 紧嵌入到 $Y$，记为 $X \hookrightarrow_c Y$。

Theorem 若 $\partial \Omega$ 是 Lipschitz 连续的，则：

  1. $m < n/p$ 时， \(W^{m+k,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k,q}(\Omega), \quad 1 \leq q \leq \frac{np}{n - mp}, \, k \geq 0.\)

  2. $m < n/p$ 时， \(W^{m+k,p}(\Omega) \hookrightarrow_c W^{k,q}(\Omega), \quad 1 \leq q < \frac{np}{n - mp}, \, k \geq 0.\)

  3. $m = n/p$ 时， \(W^{m+k,p}(\Omega) \hookrightarrow_c W^{k,q}(\Omega), \quad 1 \leq q < \infty, \, k \geq 0.\)

  4. $m > n/p$ 时， \(W^{m+k,p}(\Omega) \hookrightarrow_c C^k(\overline{\Omega}), \quad k \geq 0.\)

$C^\infty(\overline{\Omega})$ 在 $W^{m,p}(\Omega)$ 中稠密，故 $\forall u \in W^{m,p}(\Omega)$ 存在 ${ u_k } \subset C^\infty(\overline{\Omega})$ 使得 \(\| u_k - u \|_{m,p,\Omega} \to 0, \quad k \to \infty.\) 若对任意 ${ u_k } \to u$，${ u_k |_{\partial \Omega} }$ 在 $L^q(\partial \Omega)$ 中均收敛，则称 ${ u_k |_{\partial \Omega} }$ 在 $L^q(\partial \Omega)$ 中的极限为 $u$ 在 $\partial \Omega$ 上的迹，记为 $u|_{\partial \Omega}$。

称为 迹算子。

若 $\Omega$ 是连续（紧）的，则称 $W^{m,p}(\Omega)$ （紧）嵌入到 $L^q(\partial \Omega)$，记为： \(W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\partial \Omega)\) 或 \(W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow_c L^q(\partial \Omega).\)

Theorem $\partial \Omega$ 是 $m \ge 1$ 阶光滑的，则：

  1. $m < n/p$ 时， \(W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\partial \Omega), \quad 1 \leq q \leq \frac{(n-1)p}{n - mp}.\)

  2. $m = n/p$ 时， \(W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\partial \Omega), \quad 1 \leq q < \infty.\)

  3. $m > n/p$ 时， \(W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow C^k(\partial \Omega), \quad k \geq 0.\)

当 $m = 1$, $p = q = 2$ 时，若 $\partial \Omega$ Lipschitz 连续，则有 \(H^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\partial \Omega).\) 若 $\Omega$ 有界连通，$\partial \Omega$ Lipschitz 连续，则有 \(H_0^1(\Omega) = \{ u \in H^1(\Omega) : u|_{\partial \Omega} = 0 \},\) \(H_0^2(\Omega) = \{ u \in H^2(\Omega) : u|_{\partial \Omega} = 0, \, \frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} = 0 \}.\)

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Written on January 13, 2026