Real Analysis 测度论基础

本文档系统整理测度论的基础理论。首先建立集合系的层次结构（半环、环、代数、σ-代数），这是可测性的基础。然后通过Carathéodory外测度构造法，从预测度延拓为完备测度。接着研究可测函数的性质，为积分理论做好准备。最后详细介绍Borel σ-代数的构造和Lebesgue测度的建立过程，这是现代分析学的基石。

前置知识：集合论基础、实数系 核心思想：从集合系到σ-代数，从预测度到测度，通过Carathéodory条件构造完备的测度空间

1. 集合系的构造

目标：建立可测性的基础，理解从简单集合系到σ-代数的层次结构

1.1 扩充实数系

  • 定义：$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$
  • 关键约定：$0 \times (\pm\infty) = 0$
  • 序关系：$-\infty < a < \infty$ 对所有 $a \in \mathbb{R}$

1.2 基础集合系（按包含关系）

半环 ⊂ 环 ⊂ 代数 ⊂ σ-代数

π-系：对有限交封闭

半环：

  • 是π-系
  • 差集可表示为有限个不交集合的并
  • 典型例子：$\mathscr{Q}_{\mathbb{R}} = \{(a,b]: a \leq b\}$

环：

  • 对有限并和差封闭
  • 等价刻画：对差和有限并封闭

代数：

  • 包含空集
  • 对补、有限交、有限并封闭
  • 等价刻画：$\emptyset \in \mathcal{A}$，对补封闭，有限并封闭

σ-代数：

  • 对补、可数交、可数并封闭
  • 等价刻画：$\emptyset \in \mathscr{F}$，对补封闭，可数并封闭

重要性质：

  • σ-子代数仍是σ-代数
  • σ-代数的任意交仍是σ-代数
  • De Morgan法则成立

1.3 集合序列的极限

单调递增序列：$A_n \nearrow A = \cup_{n=1}^\infty A_n$

单调递减序列：$A_n \searrow A = \cap_{n=1}^\infty A_n$

一般序列：

  • $\limsup_{n\to\infty} A_n = \cap_{k=1}^\infty \cup_{n \geq k} A_n$（无穷多次发生）
  • $\liminf_{n\to\infty} A_n = \cup_{k=1}^\infty \cap_{n \geq k} A_n$（最终总发生）

1.4 生成σ-代数

定义：$\sigma(\mathcal{E}) = \cap\{A: A \text{是包含} \mathcal{E} \text{的} \sigma\text{-代数}\}$

存在性：由于$\mathcal{P}(X) \in \Sigma(\mathcal{E})$，交集非空

典型例子：

  • $\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\{(a,b): a,b \in \mathbb{R}\})$

1.5 可测空间

定义：$(X, \mathscr{F})$，其中$\mathscr{F}$是$X$上的σ-代数

可测集：$A \in \mathscr{F}$

1.6 Borel代数

定义：$\mathcal{B}(X)$ 是拓扑空间$X$上由开集生成的σ-代数

特殊集合：

  • $G_\delta$集：可数个开集的交
  • $F_\sigma$集：可数个闭集的并

重要定理：$(\mathbb{R}, \mathcal{M}(\mathbb{R}), m)$ 是 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m\mid_{\mathcal{B}(\mathbb{R})})$ 的完备化

与下一节的联系：σ-代数为测度的定义提供了基础框架

2. 测度的构造

目标：理解如何从简单的集函数（预测度）通过外测度和Carathéodory条件构造完备的测度空间

2.1 测度的定义

定义：非负集函数 $\mu: \mathscr{F} \to [0,\infty]$，满足：

  1. $\mu(\emptyset) = 0$
  2. 可数可加性：对两两不交的 $\{A_n\}$，$\mu(\cup A_n) = \sum \mu(A_n)$

基本性质（命题1.1）：

  • 有限可加性：对有限个不交集成立
  • 单调性：$A \subset B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$
  • 可数次可加性：$\mu(\cup A_n) \leq \sum \mu(A_n)$
  • 下连续性：$A_n \nearrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$
  • 上连续性：$A_n \searrow A, \mu(A_1) < \infty \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$

2.2 测度空间

定义：$(X, \mathscr{F}, \mu)$，其中 $(X, \mathscr{F})$ 是可测空间，$\mu$ 是测度

特殊集：

  • 零测集：$A \in \mathscr{F}$ 且 $\mu(A) = 0$
  • 可略集：零测集的子集

2.3 预测度

定义：半环 $\mathscr{Q}$ 上的集函数 $\mu$，满足：

  1. $\mu(\emptyset) = 0$
  2. 可数可加性

性质（命题1.6）：

  • 单调性
  • 可减性：$\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$（当 $B \setminus A \in \mathscr{Q}$）
  • 可数次可加性
  • 有限可加性
  • 下连续性和上连续性

2.4 外测度

定义：$\tau: \mathcal{P}(X) \to [0,\infty]$，满足：

  1. $\tau(\emptyset) = 0$
  2. 单调性
  3. 可数次可加性

构造方法： \(\mu^*(A) = \inf\\{\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n): \\{E_n\\} \subset \mathscr{E}, A \subset \cup E_n\\}\)

2.5 Carathéodory条件

定义：集合 $A \subset X$ 满足 Carathéodory 条件，如果： \(\tau(D) = \tau(D \cap A) + \tau(D \cap A^c), \quad \forall D \subset X, \tau(D) < \infty\)

直观意义：$A$ 能够完美分割任意集合 $D$ 的外测度

2.6 Carathéodory测度构造定理

定理：设 $\tau$ 是外测度，定义 $\mathscr{F}_\tau = \{A: A \text{满足 Carathéodory 条件}\}$，则：

  1. $\mathscr{F}_\tau$ 是 σ-代数
  2. $(X, \mathscr{F}_\tau, \tau)$ 是完备测度空间
  3. $\tau$ 在 $\mathscr{F}_\tau$ 上是测度（满足可数可加性）

证明思路：

  • 验证对补、有限并、可数并封闭
  • 利用递归分解证明可数可加性
  • 通过单调性和零测集子集验证完备性

2.7 Carathéodory-Hahn-Kolmogorov测度扩张定理

定理：设 $\mu$ 是半环 $\mathscr{Q}$ 上的预测度，通过外测度构造扩张到 $\sigma(\mathscr{Q})$：

  1. $\sigma(\mathscr{Q}) \subset \mathscr{F}$，$(X, \sigma(\mathscr{Q}), \mu\mid_{\sigma(\mathscr{Q})})$ 和 $(X, \mathscr{F}, \mu)$ 都是测度空间，后者完备
  2. 若 $\nu$ 是 $\sigma(\mathscr{Q})$ 上的测度扩张，则 $\nu(A) \leq \mu(A)$，有限时等号成立
  3. 唯一性：若 $\nu$ σ-有限且是预测度，则扩张唯一

应用：Lebesgue测度的构造

2.8 完备化

定义：$\overline{\mathscr{F}} = \{A \cup B: A \in \mathscr{F}, B \in \mathcal{N}\}$，$\bar{\mu}(A \cup B) = \mu(A)$

定理：$(X, \overline{\mathscr{F}}, \bar{\mu})$ 是完备测度空间

完备的等价刻画（命题1.37）：

  • $\mu$ 完备
  • 若 $f$ 可测，$f = g$ a.e.，则 $g$ 可测
  • 若 $f_n$ 可测且 $f_n \to f$ a.e.，则 $f$ 可测

例子：Borel测度不完备，Lebesgue测度是其完备化

2.9 测度的前推

定义：$\Phi_* \mu(E) = \mu(\Phi^{-1}(E))$

定理：$\Phi_* \mu$ 是 $(Y, \mathscr{G})$ 上的测度

与下一节的联系：测度构造理论为具体的Lebesgue测度提供了理论基础

3. Lebesgue测度

目标：理解最重要的具体测度——Lebesgue测度的构造和性质

3.1 Lebesgue测度的构造

准分布函数：$F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 单调递增且右连续

构造步骤：

  1. 半环 $\mathscr{Q}_{\mathbb{R}^n}$（长方体）
  2. 预测度 $\nu_F((a,b]) = F(b) - F(a)$
  3. Carathéodory扩张得到 $(\mathbb{R}^n, \mathcal{M}(\mathbb{R}^n), m)$

特殊情形：$F(x) = x$ 生成标准Lebesgue测度

3.2 Lebesgue测度的正则性

外正则性：$m^*(E) = \inf\{m(G): E \subset G, G \text{开集}\}$

内正则性：$m(E) = \sup\{m(K): K \subset E, K \text{紧集}\}$

等价刻画：$E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^n) \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists$ 开集 $G \supset E, m^*(G \setminus E) < \varepsilon$

逼近定理（推论1.19）：任意可测集可用 $G_\delta$ 集和 $F_\sigma$ 集逼近（差集为零测集）

3.3 Lebesgue测度的不变性

定理：

  • 平移不变性：$m(E + x) = m(E)$
  • 反射不变性
  • 线性变换：$m(T(E)) = |\det T| \cdot m(E)$

证明思路：通过外测度的平移不变性和Carathéodory条件

例子：对角矩阵（拉伸）的不变性

3.4 不可测集

Vitali集的构造：

  1. 等价关系 $x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}^n$
  2. 用选择公理选代表元构造 $W$
  3. 用Steinhaus定理导出矛盾

定理：任意正测度集 $E$ 都包含非Lebesgue可测子集

3.5 Steinhaus定理

引理：正测度集 $E$ 必存在长方体 $I$ 使得 $m(I \cap E) > \lambda |I|$（$\lambda < 1$ 任意接近1）

Steinhaus定理：若 $m(E) > 0$，则 $\exists r > 0, B(0,r) \subset E - E$

应用：证明Vitali集不可测

3.6 度量空间上的测度

度量外测度：$d(A,B) > 0 \Rightarrow \tau(A \cup B) = \tau(A) + \tau(B)$

定理（命题1.22）：度量外测度的Carathéodory可测集包含所有Borel集

正则性（定理1.23）：局部有界Borel测度具有正则性

3.7 以ρ为密度的测度

定义：$\nu = \rho \mu$，其中 $\rho: X \to [0,\infty]$ 是非负可测函数，$\nu(A) = \int_X \rho \mathbf{1}_A d\mu$

定理：

  • $\nu$ 是 σ-有限的测度
  • $\int f d\nu = \int f\rho d\mu$（$\rho$ 是Radon-Nikodym导数）

与下一节的联系：Lebesgue测度为积分理论奠定了基础

4. 可测映射与可测函数

目标：建立函数与测度的联系，理解可测性的判定和函数逼近

4.1 可测映射

定义：$f: (X, \mathscr{A}) \to (Y, \mathscr{B})$ 是可测映射，如果 $\forall B \in \mathscr{B}$，$f^{-1}(B) \in \mathscr{A}$

判定定理（命题1.26）：若 $\mathscr{M} = \sigma(\mathscr{E})$，则 $f$ 可测 $\Leftrightarrow f^{-1}E \in \mathscr{F}, \forall E \in \mathscr{E}$

基本性质：

  • 连续函数是Borel可测的
  • 单调函数是Borel可测的
  • 复合：$g \circ f$ 可测若 $f, g$ 都可测

拉回：$f^* \mathscr{G} = \{f^{-1}A: A \in \mathscr{G}\}$ 是 $X$ 上的σ-代数

前推：$f_* \mathscr{F} = \{B \subset Y: f^{-1}(B) \in \mathscr{F}\}$ 是 $Y$ 上的σ-代数

定理（引理1.29）：$f^{-1}(\sigma(\mathscr{E})) = \sigma(f^{-1}\mathscr{E})$

4.2 可测函数

定义：$f: (X, \mathscr{F}) \to (\overline{\mathbb{R}}, \mathscr{B}(\overline{\mathbb{R}}))$ 是可测映射

判定定理：$f$ 可测 $\Leftrightarrow f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathscr{F}, \forall a$

可测函数序列极限：$\sup f_n, \inf f_n, \limsup f_n, \liminf f_n$ 都可测

定理：任意Lebesgue可测函数 $f$，存在Borel可测函数 $\tilde{f}$ 使得 $f = \tilde{f}$ a.e.

4.3 函数逼近

阶梯函数逼近定理（定理1.35）：对任意可测函数 $f$，存在阶梯函数序列 $\{\psi_k\}$ 和零测集 $N$，使得 $\psi_k \to f$ 在 $N^c$ 上逐点成立

证明思路：

  1. 利用简单函数逼近
  2. 用Littlewood第一原理将简单函数改造为阶梯函数
  3. 用Borel-Cantelli引理控制例外集

与下一节的联系：可测函数为积分的定义提供了基础

5. Littlewood三原则

第一原则：每个可测集都接近基础集（有限长方体并）

  • 利用正则性：$\forall \varepsilon > 0$，存在开集 $G \supset E$，$m(G \setminus E) < \varepsilon$

第二原则：每个可测函数都接近连续函数（Lusin定理）

  • $\forall \varepsilon > 0$，存在闭集 $F$ 和 $g \in C(\mathbb{R}^n)$ 使得 $g = f$ 在 $F$ 上，$m(\{f \neq g\}) < \varepsilon$

第三原则：每个收敛的可测函数序列都接近一致收敛（Egorov定理）

  • 在有限测度空间中，a.e. 收敛蕴含近一致收敛

直观意义：在实分析中，”坏”的情形只发生在很小的集合上

6. 乘积测度

目标：理解高维空间的测度结构，掌握Tonelli-Fubini定理

6.1 σ-有限性

定义：测度 $\mu$ 是 σ-有限的，若存在可数集序列 $\{E_n\}$ 使得 $X = \cup E_n$ 且 $\mu(E_n) < \infty$

例子：Lebesgue测度是 σ-有限的

重要性：保证乘积测度扩张的唯一性

6.2 乘积σ-代数

可测矩形：$\mathscr{E} = \{A \times B: A \in \mathscr{F}_1, B \in \mathscr{F}_2\}$

乘积σ-代数：$\mathscr{F}_1 \otimes \mathscr{F}_2 = \sigma(\mathscr{E})$

6.3 截口

集合的截口：

  • $E_x = \{y: (x,y) \in E\}$
  • $E^y = \{x: (x,y) \in E\}$

函数的截口：

  • $f_{(x,\cdot)} = f(x,\cdot)$
  • $f_{(\cdot,y)} = f(\cdot,y)$

定理：若 $E \in \mathscr{F}_1 \otimes \mathscr{F}_2$，则 $E_x \in \mathscr{F}_2, E^y \in \mathscr{F}_1$

证明思路：通过示性函数和单调类定理

6.4 乘积测度空间

定义：$\nu[A \times B] = \mu_1(A)\mu_2(B)$ 对可测矩形

定理：$\nu$ 是预测度

Carathéodory-Hahn-Kolmogorov扩张：在 σ-有限条件下，扩张唯一

与下一部分的联系：乘积测度为Tonelli-Fubini定理提供了基础

第一部分小结

逻辑链条：

集合系 → σ-代数 → 预测度 → 外测度 → Carathéodory条件 → 测度空间 → 完备化 → Lebesgue测度 → 乘积测度

关键定理：

  1. Carathéodory测度构造定理
  2. Carathéodory-Hahn-Kolmogorov测度扩张定理
  3. Lebesgue测度的正则性和不变性
  4. Steinhaus定理

核心技巧：

  • 通过生成集验证可测性
  • 利用Carathéodory条件构造测度
  • 通过内外正则性进行逼近

下一步：第二部分 Lebesgue积分理论

Written on January 8, 2026