Real Analysis 收敛模式

本文档整理函数序列的各种收敛模式及其相互关系。介绍几乎处处收敛、近一致收敛、依测度收敛和$L^p$收敛的定义与性质。重点证明Egorov定理（a.e.收敛与近一致收敛的关系）和Riesz定理（子序列定理）。详细分析各种收敛模式之间的蕴含关系及其反例，特别是测度有限和无限情形的区别。最后介绍Vitali收敛定理，给出$L^1$收敛的充要条件。

前置知识：Lebesgue积分、测度论 核心思想：理解不同收敛模式的定义、关系和转换，掌握Egorov定理和Riesz定理

1. 几乎处处收敛

定义：$f_n \to f$ a.e. 表示 $\mu\{x: f_n(x) \not\to f(x)\} = 0$

性质：

  • 在零测集上可以任意定义极限
  • 不蕴含依测度收敛（测度无限时）

反例：$f_n = \mathbf{1}_{[n,\infty)}$，$f_n \to 0$ 逐点但不依测度收敛

2. 近一致收敛

定义：$f_n \xrightarrow{a.u.} f$，如果 $\forall \varepsilon > 0$，存在 $A_\varepsilon \in \mathscr{F}$ 使得 $\mu(A_\varepsilon) < \varepsilon$，且 $f_n \rightrightarrows f$ 在 $X \setminus A_\varepsilon$ 上一致收敛

直观理解：去掉一个测度任意小的集合后，函数列一致收敛

与L∞收敛的关系：$L^\infty$ 收敛等价于在零测集外一致收敛

3. 依测度收敛

定义：$f_n \xrightarrow{\mu} f$，如果 $\forall \varepsilon > 0$： \(\lim_{n\to\infty} \mu\\{x: \|f_n(x) - f(x)\| \geq \varepsilon\\} = 0\)

性质：

  • 不要求逐点收敛
  • 测度有限时，a.e.收敛蕴含依测度收敛

反例（测度无限）：$f_n = \mathbf{1}_{[n,n+1]}$，$f_n \to 0$ 依测度但不 a.e. 收敛

4. $L^1$收敛

定义：$f_n \xrightarrow{L^1} f$，如果： \(\lim_{n\to\infty} \int \|f_n - f\| d\mu = 0\)

性质：

  • $L^1$ 收敛蕴含依测度收敛（Chebyshev不等式）
  • 与范数收敛等价：$|f_n - f|_{L^1} \to 0$

判定（DCT变形）：$f_n \xrightarrow{a.e.} f$ 且 $|f_n|_{L^1} \to |f|_{L^1}$，则 $f_n \xrightarrow{L^1} f$

5. 收敛模式之间的关系

蕴含关系： \(L^\infty \Rightarrow a.u. \Rightarrow a.e. \Rightarrow \text{依测度} \Leftarrow L^1\)

定理：

  1. 近一致收敛 ⇒ 依测度收敛（命题1.56(1)）
  2. a.e.收敛 + 有限测度 ⇒ 近一致收敛（Egorov定理）
  3. 依测度收敛 ⇒ 存在子列a.e.收敛（Riesz定理）
  4. L¹收敛 ⇒ 依测度收敛

反例（反向不成立）：

  • a.e.收敛 ⇏ 依测度收敛：$f_n = \mathbf{1}_{[n,\infty)}$（测度无限）
  • 近一致收敛 ⇏ $L^\infty$ 收敛：$f_n = \mathbf{1}_{[0,1/n]}$（$L^\infty$ 范数恒为1）

6. Egorov定理

定理：设 $\mu(E) < \infty$，$f_n \to f$ a.e.，则 $f_n \xrightarrow{a.u.} f$

证明思路：

  1. 构造 $A_n(k) = \cup_{m \geq n} \{|f_m - f| \geq 1/k\}$
  2. 利用测度的上连续性和收敛级数控制
  3. 通过有限并和一致收敛的定义验证

推论：在有限测度空间中，a.e. 收敛和近一致收敛等价

7. Riesz定理

定理：若 $f_n \xrightarrow{\mu} f$，则存在子列 $\{f_{n_k}\}$ 使得 $f_{n_k} \xrightarrow{a.u.} f$，从而 a.e. 收敛

证明思路：

  1. 对每个 $k$，令 $E_{n,k} = \{|f_n - f| > 1/k\}$
  2. 根据 $f_n \xrightarrow{\mu} f$，存在 $N_k$ 使得对 $n \geq N_k$，$\mu(E_{n,k}) < 2^{-k}$
  3. 取 $N_k$ 严格递增，得到子列 $\{f_{N_k}\}$
  4. 考虑 $E = \cup_{k=K}^\infty E_{N_k,k}$，则 $\mu(E) < \varepsilon$ 且在 $X \setminus E$ 上一致收敛

应用：从依测度收敛提取几乎处处收敛的子列

第三部分小结

收敛模式对比表：

收敛模式 定义 强度 有限测度时
$L^\infty$ sup范数收敛 最强 强
近一致 去掉小集后一致 强 等价于a.e.
a.e. 除零测集外收敛 中 等价于近一致
依测度 测度偏差收敛 弱 弱于a.e.
$L^1$ 积分范数收敛 特殊 蕴含依测度

关键定理：

  1. Egorov定理：a.e. → 近一致（有限测度）
  2. Riesz定理：依测度 → 子列a.e.

核心技巧：

  • 利用Egorov定理将a.e.收敛转为一致收敛
  • 利用Riesz定理提取收敛子列

下一步：第四部分 函数空间

Written on January 8, 2026