Real Analysis 函数空间

本文档建立可积函数的空间理论。重点介绍$L^1$、$L^2$和$L^\infty$空间，并介绍这些空间的稠密子空间：简单函数、阶梯函数和光滑紧支函数。

前置知识：Lebesgue积分、收敛模式 核心思想：建立函数的完备空间，理解稠密性和逼近

1. $L^1$空间

定义：

  • $\mathcal{L}^1(X) = \{f \in \mathcal{L}(X): \int |f| < \infty\}$
  • $L^1(X) = \mathcal{L}^1(X)/\mathcal{N}$（几乎处处相等的函数视为同一元素）

范数：$|f|_{L^1} = \int_X |f| d\mu$

定理（Riesz-Fischer）：$(L^1(X), |\cdot|_{L^1})$ 是 Banach 空间（完备）

稠密子空间：

  • 可积简单函数空间 $\mathcal{SP} \cap L^1(X)$
  • 阶梯函数空间 $ST(\mathbb{R}^n)$
  • 光滑紧支函数空间 $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$

变换连续性：

  • 平移：$\lim_{h \to 0} |\tau_h f - f|_{L^1} = 0$，其中 $\tau_h f(x) = f(x+h)$
  • 伸缩：$S_\delta f(x) = f(\delta x)$，在 $\mathbb{R}^n$ 上 \(\|S_\delta f\|_{L^1}=\delta^{-n}\|f\|_{L^1}\)

2. $L^2$空间

定义：$L^2(X) = \mathcal{L}^2(X)/\mathcal{N}$，其中 $\mathcal{L}^2(X) = \{f: \int |f|^2 < \infty\}$

范数：$|f|_{L^2} = \left(\int_X |f|^2 d\mu\right)^{1/2}$

内积：$\langle f, g \rangle = \int_X f \overline{g} d\mu$

性质：$L^2$ 是 Hilbert 空间，具有最丰富的结构

3. $L^\infty$ 空间

定义：

  • $\mathcal{L}^\infty(X) = \{f \in \mathcal{L}^0(X): |f|_{L^\infty} < \infty\}$
  • $L^\infty(X) = \mathcal{L}^\infty(X)/\mathcal{N}$

本质极大模：$|f|_{L^\infty} = \text{esssup}_X |f| = \inf\{a: |f| \leq a \text{ a.e.}\}$

定理：$(L^\infty(X), |\cdot|_{L^\infty})$ 是 Banach 空间

性质：

  • $C_0(\mathbb{R}^n) = \{f \in C(\mathbb{R}^n): \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0\}$ 是 $C_c(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^\infty$ 中的闭包
  • $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ 不可分（与 $L^1$ 形成对比）
  • 平移和伸缩算子不连续

反例：$f(x) \equiv 1$ 不能被有紧支集的函数在 $L^\infty$ 中逼近

4. 局部$L^1$空间

定义：$f \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$ 当且仅当 $f$ 可测且对任意紧集 $K \subset \Omega$，$\int_K |f| < \infty$

关系：$L^1(\Omega) \subsetneq L^1_{\text{loc}}(\Omega)$

应用：每个 $f \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$ 定义正则分布： \(\langle f, \phi \rangle = \int_\Omega f(x)\phi(x) dx\)

5. 连续紧支函数空间

定义：$C_c(\mathbb{R}^n) = C(\mathbb{R}^n) \cap \{f: \text{supp}(f) \text{ 紧}\}$

性质：$C_c(\mathbb{R}^n)$ 是 Banach 空间

稠密性：在 $L^p$（$1 \leq p < \infty$）中稠密，但在 $L^\infty$ 中不然

6. 光滑紧支函数空间

定义：$C_c^\infty(\mathbb{R}^n) = C^\infty(\mathbb{R}^n) \cap C_c(\mathbb{R}^n)$

性质：在 $L^1(\mathbb{R}^n)$ 中稠密

7. 支集

定义：$\text{supp}(f) = \overline{\{x: f(x) \neq 0\}}$

性质：紧支集函数在分布理论中很重要

8. 卷积

定义：对 $f, g \in C_c(\mathbb{R}^n)$： \(f * g(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y) dy\)

性质：

  1. $L^1$ 性质：对 $f, g \in L^1$，\(\|f * g\|_{L^1} \leq \|f\|_{L^1} \|g\|_{L^1}\)（Banach 代数）
  2. 正则性：若 $f \in L^1, g \in L^\infty$，则 $f * g$ 连续有界且一致连续
  3. 逼近：对一族好核 $K_\varepsilon$，$f * K_\varepsilon \xrightarrow{L^1} f$

支集性质：$\text{supp}(f * g) \subset \overline{\text{supp}(f) + \text{supp}(g)}$

典型例子：截断函数 $\rho_\varepsilon$ 构成好核

9. 可分性

定义：度量空间可分，如果它有可数的稠密子集

例子：

  • $L^1(\mathbb{R}^n)$ 可分：二进闭方体的指示函数的有理线性组合
  • $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ 不可分

10. 阶梯函数逼近

定义：阶梯函数形如 \(f = \sum_{\ell=1}^N a_\ell \mathbf{1}_{R_\ell}\) ，其中 $R_\ell$ 是长方体

定理：对可测函数 $f$，存在阶梯函数序列 $\{\psi_k\}$ 和零测集 $N$，使得 $\psi_k \to f$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus N$ 上逐点成立

证明思路：

  1. 利用简单函数逼近
  2. 用 Littlewood 第一原理将简单函数改造为阶梯函数
  3. 用 Borel-Cantelli 引理控制例外集

第四部分小结

函数空间对比表：

空间 范数 性质 稠密子空间 可分性
$L^1$ $\int |f|$ Banach $C_c^\infty$ 可分
$L^2$ $(\int |f|^2)^{1/2}$ Hilbert $C_c^\infty$ 可分
$L^\infty$ $\operatorname{esssup} |f|$ Banach $C_0$ 不可分
$C_c$ sup范数 Banach - 不可分
$C_c^\infty$ - 不完备 - 可分

关键定理：

  1. Riesz-Fischer 定理：完备性
  2. 稠密性定理：$C_c^\infty$ 在 $L^p$ 中稠密
  3. 卷积的正则性

核心技巧：

  • 利用稠密性进行逼近，典型方法
  • 利用卷积改善函数正则性
  • 利用好核进行平均

下一步：第五部分 Lp空间理论

Written on January 8, 2026