Topology CW复形
本文档介绍CW复形这一重要的空间构造理论。CW复形通过逐次附着胞腔（disk的内部）的方式构造拓扑空间，具有良好的拓扑性质（满足所有分离公理、局部可缩等）。我们定义骨架序列、特征映射和开胞腔等概念，研究CW复形的基本性质。CW复形是代数拓扑和几何拓扑的主要研究对象，包括球面、环面、实射影空间、Klein瓶等经典例子都可以表示为CW复形。最后介绍Euler示性数和CW复形的基本群计算。
前置知识：商空间、附着空间、基本群、同调论基础 核心思想：通过”由简单到复杂”的构造方法（逐次附着胞腔）建立拓扑空间的组合模型，便于计算拓扑不变量
CW复形的基本性质
CW复形
定义 [附着空间]
考虑拓扑空间$A$和其子空间$B$。我们称$(A,B)$为一空间对。给定这样一对$(A,B)$和连续映射$f:B\rightarrow X$。我们考虑如下在$X\sqcup A$上由 \(x\sim f(x) \text{ 对任意} x\in B\) 生成的等价关系： 我们记商空间$X\sqcup A/\sim$为$X\cup_f A$。 我们称$X\cup_f A$为由$X$和$A$沿子空间$B$通过附着映射$f$粘接而成的空间。
例
拓扑空间$\ast \cup_B A$ 即为商空间$A/B$。
例
当$(A,B)=(D^n,S^{n-1})$，称$D^n$ 为$n$维胞腔 (n-dimensional cell)。称$X\cup_f D^n$从$X$通过$f:S^{n-1}\to X$粘上一个$n$胞腔得到。
定义
一个CW复形即为一个带有如下序列的拓扑空间$X$ \(\emptyset = \mathrm{Sk}_{-1}X\subset \mathrm{Sk}_{0}X \subset \mathrm{Sk}_{1} X \subset \cdots \subset X\) 使得如下条件成立：
- $\mathrm{Sk}_n X$ 由向$\mathrm{Sk}_{n-1}X$粘上一族$n$-胞腔$\sqcup_{\alpha\in A_n} D_\alpha^n$得到。
- $X=\bigcup_{n=0}^{\infty} \mathrm{Sk}_n X$。而且$X$上的拓扑称为”弱拓扑” (weak topology)。这意味着$U$在$X$中为开集当且仅当$U\cap \mathrm{Sk}_n X$在$\mathrm{Sk}_n X$中对任意$n$为开集。
定义 [特征映射 (characteristic map)]
存在良定义的映射 \(\varphi_\alpha:D_\alpha^n\to \mathrm{Sk}_n X \hookrightarrow X\) 称为胞腔$D_\alpha^n$的特征映射 (characteristic map)。
定义 [open cell]
一般$\varphi_\alpha$并不是嵌入(embedding)（因为$\varphi_\alpha|_{\partial D_\alpha^n}$为粘连映射而一般不是单射）。但是，原映射在$\mathring{D_\alpha^n}$上的限制 \(\varphi_\alpha\|_{\mathring{D_\alpha^n}}:\mathring{D_\alpha^n}\to X\) 为嵌入。
称这个映射的像$e_\alpha^n$为open cell。 有CW分解 \(X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{\alpha\in A_n} e_\alpha^n\)
注
一般的 open cell 都不 open。
例 [$S^n$的CW结构]
- 因为$S^n\cong D^n/S^{n-1}=\ast \cup_{S^{n-1}} D^n$。
如下性质看似显然，但是有些证明并不简单。我们默认CW复形有这些好性质。
命题 [CW复形的性质]
$X$为CW复形。则如下结论成立
- $X$满足T1~T4 分离定理。
- $X$局部连通，局部道路连通。
- 任意$x\in X$都是”nice”的。特别的，$X$局部可缩。
- $\mathrm{Sk}_1 X$总是一个图。而且inclusion map $\mathrm{Sk}_1 X\hookrightarrow X$导出一个双射$\pi_0(Sk_1 X)\leftrightarrow \pi_0(X)$。
- $A\subset X$为紧集当且仅当$A$为闭集而且$A$与有限个$X$的胞腔相交。特别的，$X$为紧集当且仅当$X$为有限CW复形。