本文档介绍数值分析中多项式逼近的一般理论，包括Weierstrass逼近定理及其证明，以及多项式和三角多项式逼近的基本概念和性质。

多项式逼近一般理论

Weierstrass 定理

我们知道连续函数可以使用多项式逼近.

Theorem 如果 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对于$\forall \epsilon >0$, 存在一个$n$次多项式$p_n(x)$使得: \(\|f(x)-p_n(x)\|_\infty\leqslant \epsilon\)

Proof. 令$B_n^f (x) = \sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n}) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}$. 这是Bernstein 多项式的线性组合.

不妨设 $f(x) \in C[0, 1]$。

注意到： \(\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} &= 1 \\ \sum_{k=0}^{n} (nx - k)^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} &= nx(1-x) \end{aligned}\)

令 \(E_n(x) = \max_{|x - \frac{k}{n}| < n^{-\frac{1}{4}}} |f(x) - f(\frac{k}{n})|\)

由 $f(x) \in C[0, 1]$，则 $f$ 在 $[0, 1]$ 上一致连续。 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta_\varepsilon > 0$ 使得对于任意 $x, y \in [0, 1]$， 当 $|x - y| < \delta_\varepsilon$ 时， \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\)

取 $N = \lceil \delta_\varepsilon^{-4} \rceil$，则有 $\forall n > N$ 有 \(E_n = \max_{x \in [0, 1]} E_n(x) \leq \varepsilon\) 即 \(\lim_{n \to \infty} E_n = 0\)

\(\begin{aligned} \left| f(x) - B_n f(x) \right| &= \left| \sum_{k=0}^{n} \left( f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right) \lambda_{n,k}(x) \right| \\ &\leq \sum_{|x - \frac{k}{n}| < n^{-\frac{1}{4}}} \left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \lambda_{n,k}(x) \\ &\quad + \sum_{|x - \frac{k}{n}| \geq n^{-\frac{1}{4}}} \left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \lambda_{n,k}(x) \\ &\leq E_n(x) + \sum_{k=0}^{n} \left| \frac{k}{n} - x \right|^2 n^{\frac{1}{2}} \left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \lambda_{n,k}(x) \\ &\leq E_n + 2M n^{-\frac{3}{2}} \sum_{k=0}^{n} (nx - k)^2 \lambda_{n,k}(x) \\ &= E_n + 2M n^{-\frac{3}{2}} nx(1-x) \\ &\leq E_n + \frac{1}{2} M n^{-\frac{1}{2}} \to 0 \quad (\text{对 } x \text{ 一致收敛}) \end{aligned}\)  

◻

我们定义几个记号.

Definition 令$C_{2\pi} = { f\in C(\mathbb{R}): f(x) = f(x+2\pi), \forall x\in \mathbb{R}}$.

Definition 若$|a_n| + |b_n|>0$ 则称 $T_n(x) = A + \sum_{k=1}^n (a_k \cos k x + b_k \sin kx)$ 为$n$阶三角多项式.

周期性连续函数则可以使用三角多项式逼近.

Theorem 如果$f(x)\in C_{2\pi}$，则存在$n$阶三角多项式$T(x)$使得: $\forall x\in \mathbb{R}$, $|T(x) - f(x)| < \varepsilon$.

Proposition Weierstrass 第一定理 和 Weierstrass 第二定理 等价.

Lemma 若$f(x) \in C[0,\pi]$, $\forall \varepsilon >0$, 存在一个偶的三角多项式 $T(x)$ 使得 \(|f(x)-T(x)| < \varepsilon, \forall x\in [0,\pi].\)

Proof. $f(\arccos y) \in C[-1, 1]$。由 Weierstrass 第一定理，存在多项式 \(\sum_{k=0}^{n} c_k y^k\) 使得 \(|f(\arccos y) - \sum_{k=0}^{n} c_k y^k| < \varepsilon, \quad y \in [-1, 1].\) 令 $x = \arccos y$，则有 \(|f(x) - \sum_{k=0}^{n} c_k \cos^k x| < \varepsilon, \quad \forall x \in [0, \pi].\) $\sum_{k=0}^{n} c_k \cos^k x$ 为偶的三角多项式。

• 第一定理 $\Rightarrow$ 第二定理：

$f(x) \in C_{2\pi}$，由引理 1，存在偶的三角多项式 $T_1(x)$、$T_2(x)$，使得 \(|f(x) + f(-x) - T_1(x)| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \forall x \in [0, \pi],\) \(|(f(x) - f(-x)) \sin x - T_2(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.\)

由于 $f(x) + f(-x)$、$(f(x) - f(-x)) \sin x$ 均为偶的 $2\pi$-周期函数，则有，$\forall x \in \mathbb{R}$， \(f(x) + f(-x) = T_1(x) + Q_1(x), \quad (1)\) \((f(x) - f(-x)) \sin x = T_2(x) + Q_2(x), \quad (2)\) 其中 $|Q_1(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$，$|Q_2(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。

由 $(1) \times \sin^2 x + (2) \times \sin x$ 得 \(f(x) \sin^2 x = \frac{1}{2} \left[ T_1(x) \sin^2 x + T_2(x) \sin x \right]\) \(+ \frac{1}{2} \left[ Q_1(x) \sin^2 x + Q_2(x) \sin x \right].\) 则 $T_3(x)$ 为三角多项式，且 $|b(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。

由于 $f(t - \frac{\pi}{2}) \in C_{2\pi}$，则有 \(f(x) \sin^2 x = T_4(x) + C(x),\) 其中 $T_4(x)$ 为三角多项式，$|C(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。

令 $t - \frac{\pi}{2} = x$，则 \(f(x) \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = f(x) \cos^2 x = T_4(x + \frac{\pi}{2}) + C(x + \frac{\pi}{2}).\) 由此可得 \(f(x) = T_3(x) + T_4(x + \frac{\pi}{2}) + b(x) + C(x + \frac{\pi}{2}),\) 即 \(|f(x) - T_3(x) - T_4(x + \frac{\pi}{2})| \leq \varepsilon.\)

• 第二定理 $\Rightarrow$ 第一定理：

设 $f(x) \in C[-\pi, \pi]$，令 \(g(x) = f(x) + \frac{f(-\pi) - f(\pi)}{2\pi} x, \quad x \in [-\pi, \pi].\) 则有 $g(x) = g(-x)$，将 $g(x)$ 周期延拓到 $(-\infty, \infty)$，则 $g(x) \in C_{2\pi}$。

由第二定理，$\forall \varepsilon > 0$ 存在三角多项式 \(T(x) = A + \sum_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,\) 使得 \(|g(x) - T(x)| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \forall x \in \mathbb{R}.\)

令 $M = \sum_{k=1}^{n} |a_k| + |b_k|$，则 \(Q(x) = A + \sum_{k=1}^{n} a_k C_m(kx) + b_k S_m(kx).\) 易得 \(|g(x) - Q(x)| < \varepsilon.\)

令 \(P(x) = Q(x) - \frac{f(-\pi) - f(\pi)}{2\pi} x,\) 则 $\forall x \in [-\pi, \pi]$ 有 \(|f(x) - P(x)| < \varepsilon.\)

\(S_m(z) = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}, \quad C_m(z) = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}.\) $S_m(z)$、$C_m(z)$ 在 $[-n\pi, n\pi]$ 上一致收敛到 $\sin z$、$\cos z$，则存在 $m$ 充分大使得 \(|\cos z - C_m(z)| < \frac{\varepsilon}{2M}, \quad |\sin z - S_m(z)| < \frac{\varepsilon}{2M}.\)

令 \(Q(x) = A + \sum_{k=1}^{n} a_k C_m(kx) + b_k S_m(kx).\) 易得 \(|g(x) - Q(x)| < \varepsilon.\)

令 \(P(x) = Q(x) - \frac{f(-\pi) - f(\pi)}{2\pi} x,\) 则 $\forall x \in [-\pi, \pi]$ 有 \(|f(x) - P(x)| < \varepsilon.\) ◻

我们可以推广Weierstrass定理到更一般的函数空间.

Definition 设 $X$ 为紧距离空间. $A\subset C(X)$. 称 $A$ 分离$X$中的点, 如果 $\forall x,y\in X$, $x\ne y$, 存在$f\in A$ 使得 $f(x) \ne f(y)$.

回忆代数的定义.

Definition $\mathcal{X}$ 称为一个代数，如果满足以下条件：

(1) $\mathcal{X}$ 是一个线性空间。

(2) $\mathcal{X}$ 上有乘法运算，且满足：$\forall f, g, h \in \mathcal{X}$，$\alpha \in \mathbb{R}$，

\[\begin{aligned} f(g + h) &= fg + fh \\ (f + g)h &= fh + gh \\ f(gh) &= (fg)h \\ \alpha(fg) &= (\alpha f)g = f(\alpha g) \end{aligned}\]

Theorem 设 $X$ 是紧距离空间, $A$ 是 $C(X)$ 的子代数. 若$1\in A$, 且$A$分离$X$中的点, 则$A$在$C(X)$中稠密.

---

上一篇：无 下一篇：多项式插值

---

Chebyshev 定理

在本节我们证明最佳逼近多项式存在 (Chebyshev 定理). 并给出刻画它的方法.

Definition $\Delta(p) = \max_{x\in [a,b]} |f(x) - p(x)|$.

Remark 偏差是指一个特定的多项式到原函数$f$的距离 (最大差值).

Definition $E_n = \inf_{p\in P_n} \Delta(p)$, 其中 $P_n$ 是至多 $n$ 次多项式的集合.

Remark 最小偏差是$P_n$中所有多项式的偏差的最小值.

Theorem 对于$\forall f(x) \in C[a,b]$, 存在$n$次多项式$p^*(x)$使得: \(\Delta (p^*) = E_n\)

Remark Borel 定理告诉我们确实存在一个多项式可以取到最小偏差.

Remark 证明使用了泛函分析中的思想.

Proof. 定理 Borel 对于$\forall f(x) \in C[a,b]$, 存在$n$次多项式$p^\ast(x)$使得: \(\Delta (p^\ast) = E_n\)

证明: (deepseek)

Borel定理断言，对于任意连续函数$f \in C[a,b]$，存在次数不超过$n$的多项式$p^\ast(x)$，使得其偏差$\Delta(p^\ast) = E_n$，即达到最小偏差。以下是该定理的核心证明步骤：

1. 极小化序列的存在性

   根据$E_n$的定义（$\inf_{p \in P_n} \Delta(p)$），存在一列多项式$\{p_k\} \subset P_n$，使得$\Delta(p_k) \to E_n$。此序列称为极小化序列。

2. 系数有界性的证明

   假设极小化序列的系数无界，则存在子列$\{p_k\}$的系数向量 $\mathbf{a}_k = (a_0^{(k)}, \dots, a_n^{(k)})$ 满足$|\mathbf{a}_k| \to \infty$。考虑标准化向量 $\mathbf{v}_k = \mathbf{a}_k / |\mathbf{a}_k|$ ，由Heine-Borel定理，存在收敛子列$\mathbf{v}_{k_m} \to \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$。对应的多项式$q_{k_m}(x) = \mathbf{v}_{k_m} \cdot (1, x, \dots, x^n)$收敛到非零多项式$q(x)$。此时，$p_{k_m}(x) = |\mathbf{a}_{k_m}| q_{k_m}(x)$在$[a,b]$上某点的值趋于无穷，导致$\Delta(p_{k_m}) \to \infty$，与$\Delta(p_k) \to E_n$矛盾。故系数必有界。

3. 紧性与收敛性

   由于$P_n$是有限维空间，系数向量有界序列存在收敛子列$\mathbf{a}_{k_m} \to \mathbf{a}^\ast$，对应多项式$p_{k_m} \to p^\ast \in P_n$（系数收敛蕴含多项式一致收敛）。

4. 连续性与极值达成

   偏差函数$\Delta(p) = |f - p|_\infty$是连续的。因此，\(\Delta(p^\ast) = \lim_{m \to \infty} \Delta(p_{k_m}) = E_n,\) 即$p^*$是最优逼近多项式。

5. 结论

   利用有限维空间的紧性及偏差函数的连续性，确保了极小化序列的极限$p^\ast \in P_n$存在，并达到最小偏差$E_n$。因此，Borel定理得证。

$\boxed{\text{存在这样的多项式 } p^\ast \text{ 使得 } \Delta(p^\ast) = E_n}$ ◻

Definition 记$\varepsilon (x) = p(x) - f(x)$, 若$|\varepsilon(x_0)| = \Delta (p)$, 则称$x_0$为偏离点. $\varepsilon(x_0) >0$, 正偏离点; $\varepsilon(x_0) <0$, 负偏离点.

Lemma 若$p(x)$为$f(x)$的最佳逼近多项式, 则正负偏离点必须都存在.

Theorem 设$p(x) \in P_n$, $\varepsilon(x)$ 在 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ 上取值为非零的正负相间值 $\lambda_1, -\lambda_2, \cdots, (-1)^{N-1} \lambda_N$, $\lambda_j>0$, $j=1,2,\cdots,N$, 且$N\ge n+2$, 则$\forall Q(x) \in P_n$, $\Delta(Q) \ge \min_{1\le i\le N} \lambda_i.$

Proof. 假设存在 $Q(x) \in P_n$ 使得 $\Delta (Q) < \min_{1\le i \le N} \lambda_i$. 令 $\eta(x) = P(x) - Q(x) = (P(x) - f(x)) - (Q(x) - f(x))$

则 \(\begin{aligned} \operatorname{sgn}(\eta(x_j)) &= \operatorname{sgn}(P(x_j) - f(x_j)) \\ &= \operatorname{sgn}(\varepsilon(x_j)) = (-1)^{j-1}, \quad j = 1, 2, \ldots, N \end{aligned}\)

则 $\eta$ 存在至少 $N-1 \geq n+1$ 个零点。

由 $\eta \in P_n$ 得 $\eta = 0$. ◻

Theorem 对于任意 $f(x) \in C[a,b]$, $P_n$ 中的最佳逼近多项式存在且唯一, 且$P(x)$为最佳逼近多项式当且仅当存在$a\le x_1 < x_2 < \cdots < x_N \le b$, $N \ge n+2$, 使得 $|E(x_j)| = \Delta(p)$, $E(x_j) = (-1)^{j-1}E(x_1), j=1,2,\cdots,N$.

Proof. 充分性"$\impliedby$"

由 Vallée-Poussin 定理可得.

必要性: "$\implies$"

(反证法) 设 $P(x)$ 交错偏离点数 $N’ \leq n+1$, 则存在 $\alpha > 0$ 和 $\xi_1, \ldots, \xi_{N’-1} \in [a,b]$ 将 $[a,b]$ 分割为 \([a, \xi_1], [\xi_1, \xi_2], \ldots, [\xi_{N'-1}, b]\) 使得在任一区间上 $E(x)$ 满足 \(-\Delta(P) \leq E(x) < \Delta(P) - \alpha\) 或者 \(-\Delta(P) + \alpha < E(x) \leq \Delta(P)\)

令 \(\phi(x) = \prod_{i=1}^{N'-1} (x - \xi_i) \in P_n\) 则 \(Q(x) = P(x) + \omega \phi(x) \in P_n\) 取 $|\omega|$ 充分小，并适当选择 $\omega$ 的符号可有 \(\Delta(Q) < \Delta(P)\) 矛盾.

最后证明唯一性. (反证法)

设存在 $Q(x) \in P_n$ 使得 $Q(x) \neq P(x)$ 且 \(\Delta(P) = \Delta(Q) = E_n\) 则由充要条件知 $P, Q$ 分别存在 $N_P = n+2$, $N_Q \geq n+2$ 个交错偏离点. 不妨设 $N_Q \geq N_P$ 且相应的交错偏离点为 $\beta_1 < \beta_2 < \cdots < \beta_{N_Q}$

令 $\eta(x) = Q(x) - P(x)$

(1) 若 $\eta(\beta_j) = 0$ 的点数 $= n+1$ 则有 $\eta \equiv 0$

(2) 若 $\eta(\beta_j) = 0$ 的点数 $< n+1$

则 $\eta(\beta_j) \neq 0$ 的点数至少为 2 个.

设 $\beta_{i-1}, \beta_{i+k+1}$ 是相邻的 $\eta$ 的非零点. 即 $\eta(\beta_{i-1}) \neq 0$, $\eta(\beta_{i+k+1}) \neq 0$.

则有 \(\operatorname{sgn}(\eta(\beta_{i-1})) = \operatorname{sgn}(Q(\beta_{i-1}) - f(\beta_{i-1})), \operatorname{sgn}(\eta(\beta_{i+k+1})) = \operatorname{sgn}(Q(\beta_{i+k+1}) - f(\beta_{i+k+1}))\)

由于 $\beta_j$ 为 $Q$ 的交错偏离点，可得 若 $k$ 为偶数，则 $\eta(\beta_{i-1})$ 与 $\eta(\beta_{i+k+1})$ 同号

$\eta$ 在 $[\beta_{i-1}, \beta_{i+k+1}]$ 中有偶数个根

$\eta$ 在 $[\beta_{i-1}, \beta_{i+k+1}]$ 中已有 $k+1$ 个根，则至少有 $k+2$ 个根;

若 $k$ 为奇数，则 $\eta(\beta_{i-1})$ 与 $\eta(\beta_{i+k+1})$ 异号

则 $\eta$ 在 $[\beta_{i-1}, \beta_{i+k+1}]$ 中有奇数个根

已有 $k+1$ 个根，则至少有 $k+2$ 个根

由此可得 $\eta$ 在 $[a,b]$ 中至少存在 $N_Q - 1 \geq n+1$ 个根. 故有 $\eta \equiv 0$. ◻

---

Jackson 定理

最小偏差的估计

Definition 设$f(x)$ 定义于$[a,b]$上, 则 $\omega(t) = \omega(t,f) = \sup_{|x-y|\le t, x,y\in [a,b]} |f(x) - f(y)|$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的连续模.

Proposition

1. 若$f(x) \in C[a,b]$ 则 $\omega(t)$是$t$的连续非减函数. 且 $\lim_{t\to 0} \omega(t) = 0$.

2. (半可加性) $\forall t_1, t_2 \ge 0$, $\omega(t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)$.

3. 若$\omega(t) = o(t), t\to 0$, 则$f(x) = const$.

Definition 若$\omega(t,f) \le M t^\alpha$, $0<\alpha\le 1$, 则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 满足 $\alpha$ 阶 Lipschitz 条件. 记作 $f(x) \in \mathrm{Lip} \alpha$.

Theorem 设$f(x) \in C_{2\pi}$, 则 $E_n(f) \le 12 \omega(\frac{1}{n}, f).$

证明Jackson定理的最佳三角多项式逼近误差估计. 设$f(x)$为$2\pi$-周期连续函数，其最佳三角多项式逼近的最小偏差定义为： \(E_n(f) = \inf_{T_n} \max_x |f(x) - T_n(x)|,\) 其中$T_n(x)$为次数不超过$n$的三角多项式。以下是证明的详细步骤：

1. 构造Jackson核

   定义Jackson核： \(K_n(t) = c_n \left( \frac{\sin(nt/2)}{\sin(t/2)} \right)^4,\) 其中$c_n$是归一化常数，使得： \(\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_n(t) dt = 1.\) 该核是次数为$2n-2$的非负三角多项式。

2. 构造逼近三角多项式

   通过卷积定义三角多项式： \(T_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) K_n(t) dt.\) 由于$K_n(t)$为三角多项式，$T_n(x)$也为次数不超过$2n-2$的三角多项式。

3. 估计逼近误差

   对任意$x$，误差为： \(|f(x) - T_n(x)| \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - f(x+t)| K_n(t) dt.\) 利用连续模$\omega(t, f)$的性质，将积分分为两部分：

   • 当$|t| \leq \frac{1}{n}$时： \(|f(x) - f(x+t)| \leq \omega\left(|t|, f\right) \leq \omega\left(\frac{1}{n}, f\right).\)

   • 当$|t| > \frac{1}{n}$时，利用核的快速衰减性进行估计。

4. 积分估计与归一化常数

   通过计算归一化常数$c_n$和积分性质：

   • 归一化常数满足：

     \[\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_n(t) dt = 1, \quad K_n(t) \geq 0.\]

   • 对于$|t| > \frac{1}{n}$，利用核的估计：

     \[\int_{|t| > 1/n} K_n(t) dt \leq C n^3 \int_{1/n}^{\pi} t^{-4} dt = O(1).\]

5. 综合误差上界

   通过积分估计可得： \(|f(x) - T_n(x)| \leq 12 \omega\left(\frac{1}{n}, f\right).\) 因此，存在次数$\leq 2n-2$的三角多项式$T_n(x)$，使得： \(E_n(f) \leq \max_x |f(x) - T_n(x)| \leq 12 \omega\left(\frac{1}{n}, f\right).\)

结论

通过构造Jackson核并分析逼近误差，我们证明了对于$2\pi$-周期连续函数$f(x)$，其最佳三角多项式逼近满足： \(\boxed{E_n(f) \leq 12 \omega\left(\frac{1}{n}, f\right)}.\) ◻

Corollary $f\in C_{2\pi}$, 且$f’ \in C_{2\pi}$, 则 $E_n (f) \le \frac{12}{n} |f’|_\infty$

Theorem $f\in C_{2\pi}$, $f^{(r)} \in C_{2\pi}$, 则 $E_n (f) \le \frac{12^{r+1}}{n^r} \omega(\frac{1}{n}, f^{(r)})$.

Corollary $f\in C_{2\pi}$, $f^{(r)} \in Lip \alpha$, 则 $E_n(f) \le \frac{12^{r+1}}{n^{r+\alpha}} M$. 定理 (区间) 设$f(x) \in C[-1,1]$, 则$E_n(f) \le 12 \omega(\frac{1}{n},f)$.

Proof. 对于$\varphi(\theta) = f(\cos \theta)$ 应用 周期函数 Jackson 定理即得. ◻

Theorem $f(x) \in C^{(r)}[-1,1]$, 则对于 $n>r$, $E_n(f) \le \frac{12^{r+1}}{n(n-1)\cdots (n-r+1)} \omega(\frac{1}{n-r}, f^{(r)})$.

Theorem $f\in C_{2\pi}$ , 则$E_n(f)\le \frac{3}{2}\omega(\frac{\pi}{n+1})$.

Proof.

Corollary 若$k<n$, 则\(\int_0^\pi \sin kx \operatorname{sgn}(\sin(nx)) dx = 0\)

Proof. 对 $\operatorname{sgn}(\sin(nx))$ 进行傅里叶展开. ◻

Lemma \(\min_{\alpha_k \in \mathbb{R}} \int_0^\pi \left|x-\sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k \sin kx\right| dx = \frac{\pi^2}{2n}.\)

Proof. \(\int_0^\pi \left|x-\sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k \sin kx \right| dx \ge \int_0^\pi (x-\sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k \sin kx) \operatorname{sgn} (\sin nx) \, dx = \frac{\pi^2}{2n}.\) ◻

令 $f\in C_{2\pi}$ 定义 \((L_nf)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n A_k (a_k \cos kx + b_k \sin kx)\) 其中 $a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(s) \cos (ks) ds$, $b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(s) \sin (ks) ds$.

Lemma $f\in C_{2\pi}, f’\in C_{2\pi}$, 则 \((L_n f - f) (x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \left[\frac{1}{2}t + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}A_k \sin(kt)\right]f'(x+\pi-t) dt\)

Proof. ◻

取 $\delta > 0$，

\[\phi(x) = \frac{1}{2\delta} \int_{x-\delta}^{x+\delta} f(t) \, dt\]

则有

\[|\phi'(x)| = \frac{1}{2\delta} |f(x+\delta) - f(x-\delta)| \leq \frac{1}{2\delta} \omega(2\delta)\]

并且

\[|(L_n \phi)(x) - \phi(x)| = \frac{1}{\pi} \left| \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{1}{2} t + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} A_k \sin kt \right] \phi'(x+t) \, dt \right|\] \[\leq \frac{\omega(2\delta)}{2\pi\delta} \int_0^\pi \left| t + \sum_{k=1}^n \frac{2(-1)^k}{k} A_k \sin kt \right| \, dt\] \[\leq \frac{\pi}{4(n+1)\delta} \omega(2\delta)\]

另一方面，

\[|\phi(x) - f(x)| \leq \frac{1}{2\delta} \int_{x-\delta}^{x+\delta} |f(t) - f(x)| \, dt \leq \omega(2\delta)\]

取 $\delta = \frac{\pi}{2(n+1)}$，则有

\[E_n(f) \leq \| L_n \phi - \phi \|_\infty + \| \phi - f \|_\infty\]

\(\leq \frac{3}{2} \omega\left(\frac{\pi}{n+1}\right)\) ◻

Remark 更精细的结果为 $E_n(f) \leq \omega\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$，并且该结果中常数为最优。

Example 设 $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$，$h = \frac{\pi}{n+1}$，$\beta \in (0, \frac{2\varepsilon}{(n+1)^2})$，$x_i = ih - (n-i+1)\beta$，$i = 1, \dots, n+1$

则

\[x_{i+1} - x_i = h + \beta, \quad x_{n+1} = \pi\]

则 $\omega(h, f) = 1$，令

\[p(x) = \frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{2} + \cos x + \cdots + \cos nx \right) = \frac{\sin((n+\frac{1}{2})x)}{2(n+1)\sin\frac{x}{2}}\]

则有

\[p(0) = \frac{(n+\frac{1}{2})}{(n+1)}\] \[p(ih) = (-1)^{i+1} \frac{(n+1)}{(2n+2)}\] \[\| p' \|_\infty \leq \frac{1}{n+1} (1+2+\cdots+n) = \frac{n}{2}\]

因此

\[|p(x_i) - p(ih)| \leq \frac{n}{2}(n-i+1)\beta \leq \varepsilon\]

于是

\[f(x_i) - p(x_i) = (-1)^{i+1} - \frac{(-1)^{i+1}}{2n+2} + \delta_i, \quad |\delta_i| \leq \varepsilon\]

则有 $f-p$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上 $2n+2$ 个点交替取正负值，且

\[\min_i |f(x_i) - p(x_i)| \geq \frac{2n+1}{2n+2} - \varepsilon\]

由之前的定理，$E_n(f) \geq \frac{2n+1}{2n+2} - \varepsilon$.

Theorem $f\in C_{2\pi}$, $f’ \in C_{2\pi}$, 则 $E_n(f) \le \frac{\pi}{2(n+1)}|f’|_\infty$.

Proof. ◻

Theorem 若 $f \in C_{2\pi}$，$E_n(f) \leq A n^{-p-\alpha}$，其中 $p \in \mathbb{N}$，$\alpha \in (0, 1)$，则有

\[f', \dots, f^{(p)} \in C_{2\pi} \quad \text{且} \quad f^{(p)} \in \text{Lip } \alpha\]

记 \(B_n(f) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}\) 为 $f$ 的 Bernstein 多项式。

Theorem 若 $f(x) \in C[0, 1]$，则有 \(|B_n(f) - f| \leq \frac{3}{2} \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)

Proof. \(|B_n(f) - f| = \left| \sum_{k=0}^n \left( f\left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \right|\)

由连续模性质，

\[\left| f\left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right| \leq \omega\left( \left| \frac{k}{n} - x \right| \right) = \omega\left( \left| \frac{k}{n} - x \right| \sqrt{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \right)\]

因此，

\[|B_n(f) - f| \leq \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \left[ 1 + \sqrt{n} \sum_{k=0}^n \left| \frac{k}{n} - x \right| \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \right]\]

由 Hölder 不等式，

\[\left[ \sum_{k=0}^n \left| \frac{k}{n} - x \right| \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \right]^2 \leq \left[ \sum_{k=0}^n \left( \frac{k}{n} - x \right)^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \right] \left[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \right]\] \[= \frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{1}{4n}\]

由此可证

\(|B_n(f) - f| \leq \frac{3}{2} \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) ◻

Corollary 若 $f(x) \in \text{Lip } \alpha$，$0 < \alpha \leq 1$，则

\[|B_n(f) - f| \leq \frac{3M}{2n^{\alpha/2}}\]

另一方面，令 $f(x) = x^2$，则有

\[B_n(f) = \sum_{k=0}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = x^2 + \frac{1}{n} x(1-x)\]

该例子表明 $B_n(f)$ 的逼近阶不可能高于 $\frac{1}{n}$.

多项式插值 →