本文档介绍高维（二维）分片多项式逼近理论，主要涉及有限元空间的构造，包括一维和二维有限元空间、各种类型的有限元（线性元、二次元、三次元、Hermite元等）及其插值条件。

高维（二维）分片多项式逼近

有限元空间（分片多项式空间）

有限元空间有以下要求：

(1) 对区域 $\overline{\Omega}$ 作剖分 $\mathcal{T}_h$，满足：

• $\overline{\Omega} = \bigcup_{K \in \mathcal{T}_h} K$

• $K \neq \emptyset$, $\forall K \in \mathcal{T}_h$

• $\forall K_1, K_2 \in \mathcal{T}_h$, $K_1 \neq K_2$ 有 $K_1^o \cap K_2^o = \emptyset$

• $\forall K \in \mathcal{T}_h$, $\partial K$ Lipschitz 连续.

(2) $\forall K \in \mathcal{T}_h$, $V_h$ 限制在 $K$ 上为多项式.

(3) $V_h$ 有一组支集 “小”的基.

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一维有限元空间

$\Omega = (a, b)$，剖分 $\Omega$: $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b$

• 线性元 \(V_h = \left\{ v \in C_0(\overline{\Omega}) : v|_{[x_{i-1}, x_i]} \text{ 为一次多项式 } \right\}_{i=1,\dots,N}\) 基函数为： \(\varphi_i(x) = \begin{cases} \dfrac{x - x_{i-1}}{x_i - x_{i-1}}, & x \in [x_{i-1}, x_i] \\ \dfrac{x_{i+1} - x}{x_{i+1} - x_i}, & x \in [x_i, x_{i+1}] \\ 0, & \text{else} \end{cases}\) $i = 1, 2, \dots, N-1$

• 二次元 \(V_h = \left\{ v \in C_0(\overline{\Omega}) : v|_{[x_{i-1}, x_i]} \text{ 为二次多项式 } \right\}_{i=1,\dots,N}\) 在区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上插值节点取为 $x_{i-1}$, $\frac{1}{2}(x_{i-1} + x_i)$, $x_i$. 插值条件为

\[\begin{aligned} I(f)(x_{i-1}) &= f(x_{i-1}) \\ I(f)(x_i) &= f(x_i) \\ I(f)\left(\frac{1}{2}(x_{i-1} + x_i)\right) &= f\left(\frac{1}{2}(x_{i-1} + x_i)\right) \end{aligned}\]

• 三次 Hermite 元 \(V_h = \left\{ v \in C_0^1(\overline{\Omega}) : v|_K \text{ 为三次多项式, } K \in \mathcal{T}_h \right\}\) 插值节点取为三个顶点及重心. 插值条件为

\[\begin{aligned} I(f)(x_{i-1}) &= f(x_{i-1}), \quad I(f)(x_i) = f(x_i) \\ I(f)'(x_{i-1}) &= f'(x_{i-1}), \quad I(f)'(x_i) = f'(x_i) \end{aligned}\]

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二维有限元空间

首先对区域 $\Omega$ 进行三角剖分，此时每个单元为三角形.

• 线性元 \(V_h = \left\{ v \in C_0(\Omega) : v|_K \text{ 为一次多项式 } \right\}\) 插值节点取为三角形的顶点，插值条件为函数值（Lagrange 插值）

• 二次元 插值节点取为三个顶点及三条边的中点，插值条件为 Lagrange 插值

• 三次元 插值节点取为三个顶点、三等分点及重心，插值条件为 Lagrange 插值

• 三次 Hermite 型单元 \(V_h = \left\{ v \in C_0^1(\Omega) : v|_K \text{ 为三次多项式, } K \in \mathcal{T}_h \right\}\) 插值节点取为三个顶点及重心.

  插值条件为：

  \[\begin{cases} \mathcal{I}(f)(A_i) = f(A_i) \\ \frac{\partial}{\partial x}(\mathcal{I}(f))(A_i) = \frac{\partial f}{\partial x}(A_i) \\ \frac{\partial}{\partial y}(\mathcal{I}(f))(A_i) = \frac{\partial f}{\partial y}(A_i) & i = 1, 2, 3 \\ \mathcal{I}(f)(C) = f(C) \end{cases}\]

• 双线性矩形单元

  \[V_h = \left\{ v \in C_0(\Omega) : v|_K \text{ 上为双线性多项式 } \right\}\]

  双线性函数有 4 个自由度： \(1, x, y, xy\)

  插值节点取为矩形单元的 4 个顶点，插值类型为 Lagrange 插值。

• 双二次矩形单元

  \[V_h = \left\{ v \in C_0^1(\Omega) : v|_K \text{ 上为双二次多项式 } \right\}\]

  双二次函数有 9 个自由度： \(1, x, y, x^2, xy, y^2, x^2y, xy^2, x^2y^2\)

  插值节点取为 4 个顶点、4 条边的中点、重心，插值类型为 Lagrange 插值。

• 不完全双二次矩形单元

  将双二次函数的基函数 $x^2y^2$ 去掉，可以减少一个自由度，同时不影响对二次多项式的精确表示。

  插值节点取为 4 个顶点、4 条边的中点、重心，插值类型为 Lagrange 插值。

• 双三次 Hermite 矩形单元

  \[V_h = \left\{ v \in C_0^1(\Omega) : v|_K \text{ 上为双三次多项式 } \right\}\]

  双三次多项式有 16 个自由度。

  插值节点取为 4 个顶点，每个顶点上的插值条件为： \(f(A_i), \quad \frac{\partial f}{\partial x}(A_i), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(A_i), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(A_i), \quad i = 1, 2, 3, 4.\)

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Sobolev 空间插值

Definition 一个三元组 $(K, P_k, \Sigma_k)$ 称为一个有限元，如果

1. $K \subset \mathbb{R}^n$ 为闭集，$\partial K$ Lipschitz 连续.

2. $P_k$ 是定义在 $K$ 上的光滑函数构成的有限维空间（一般取多项式）.

3. $\Sigma_k$ 是一组定义在 $C^\infty(K)$ 上的线性无关的线性泛函 ${\varphi_i}_{i=1}^N$，称为自由度，且 $\varphi_1, \dots, \varphi_N$ 构成了 $P_k$ 的一组对偶基。定义了 $P_k$ 上的一组规范化基底，即存在 $P_1, \dots, P_N$ 使得 \(\varphi_i(P_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 0, & i \neq j \\ 1, & i = j \end{cases}\)

Definition 设 $(K, P_k, \Sigma_k)$ 为一给定的有限元。${\varphi_1, \dots, \varphi_N}$ 为自由度集，${P_1, \dots, P_N}$ 为 $P_k$ 相应的基，即 \(\varphi_i(P_j) = \delta_{ij}.\) 定义 \(\Pi_K: C^\infty(K) \to P_k,\) \(\Pi_K(v) = \sum_{i=1}^N \varphi_i(v) P_i, \quad \forall v \in C^\infty(K).\) 称 $\Pi_K$ 为 $P_k$ 插值算子，$\Pi_K(v)$ 为 $v$ 的 $P_k$ 插值函数。

Definition 令 $P_k(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上不超过 $k$ 次多项式构成的空间。

定义等价类 \([v] = \{w \in W^{k+1,p}: w - v \in P_k\}.\) 等价类的范数 \(\| [v] \|_{k+1,p} = \inf_{w \in P_k(\Omega)} \| v + w \|_{k+1,p}.\)

半范 \(| [v] |_{k+1,p} = \inf_{w \in P_k(\Omega)} \| v + w \|_{k+1,p} = |v|_{k+1,p}.\)

Theorem 存在只依赖于 $\Omega$ 的常数 $C$，使得 \(\| [v] \|_{k+1,p} \leq C |v|_{k+1,p}, \quad \forall v \in W^{k+1,p}.\)

证明： 设 $P_1, \dots, P_N$ 是 $P_k(\Omega)$ 的一组基，即 $f_i(P_j) = \delta_{ij}$。则有 $\forall w \in P_k(\Omega)$， \(f_i(w) = 0, \quad i = 1, \dots, N \implies w = 0.\) 由 Hahn-Banach 定理，$f_i$, $i = 1, \dots, N$ 可以延拓为 $W^{k+1,p}$ 上的有界线性泛函。

下面证明存在 $C$ 使得 \(\| v \|_{k+1,p} \leq C \left( |v|_{k+1,p} + \sum_{i=1}^N |f_i(v)| \right), \quad \forall v \in W^{k+1,p}.\) 采用反证法。若结论非真，则有 \(\{v_j\}_{j=1}^\infty \subset W^{k+1,p}\) 满足 \(\| v_j \|_{k+1,p} = 1, \quad \forall j \geq 1,\) \(\lim_{j \to \infty} \left( |v_j|_{k+1,p} + \sum_{i=1}^N |f_i(v_j)| \right) = 0.\)

由 Sobolev 空间的嵌入定理 \(W^{k+1,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega),\) 即存在 $\{v_j\}_{j=1}^\infty$ 的子列（不妨仍记为 ${v_j}_{j=1}^\infty$）和 $v \in W^{k,p}(\Omega)$ 使得 \(\lim_{j \to \infty} \| v_j - v \|_{k,p} = 0.\) 则 $\{v_j\}_{j=1}^\infty$ 是 $W^{k,p}$ 中的 Cauchy 列。

由 (4.2.2) 得 $\{v_j\}_{j=1}^\infty$ 也是 $W^{k+1,p}$ 中的 Cauchy 列，且 \(\lim_{j \to \infty} \| v_j - v \|_{k+1,p} = 0.\)

特别有 \(|D^\alpha v|_{0,p} = \lim_{j \to \infty} |D^\alpha v_j|_{0,p} = 0, \quad |\alpha| = k+1.\) 由此可得 $v \in P_k(\Omega)$。

由 (4.2.2) 可得 \(f_i(v) = \lim_{j \to \infty} f_i(v_j) = 0, \quad i = 1, \dots, N.\) 因此 $v = 0$ 与 $|v|_{k+1,p} = 1$ 矛盾。

于是 \(\| [v] \|_{k+1,p} = \inf_{w \in P_k(\Omega)} \| v + w \|_{k+1,p} \leq \| v + \widetilde{w} \|_{k+1,p} \leq C |v|_{k+1,p},\) 其中 $\widetilde{w} = -\sum_{j=1}^N f_j(v) P_j$。

设 $\Omega_1, \Omega_2$ 是两个仿射等价的开集，即存在可逆的方阵 $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$，$b \in \mathbb{R}^n$ 使得 \(\Omega_2 = F(\Omega_1),\) 其中 \(F(x) = Bx + b.\) 令 $v \in W^{m,p}(\Omega_1)$，令 $\tilde{v}(x) = v(F(x)) \in W^{m,p}(\Omega_2)$。

Theorem 存在常数 $C = C(m,n)$ 使得 \(|\tilde{v}|_{m,p,\Omega_2} \leq C \|B\|_2^m |\det(B)|^{-1/p} |v|_{m,p,\Omega_1},\) \(|v|_{m,p,\Omega_1} \leq C \|B^{-1}\|_2^m |\det(B)|^{1/p} |\tilde{v}|_{m,p,\Omega_2}.\) 其中 $|\cdot|_2$ 是矩阵的 2-范数。

证明： 留作练习。

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