本文档介绍范畴论的基本概念，包括范畴的定义、态射、泛性质以及函子等核心内容。

范畴论

Definition 范畴$\mathsf{C}$包含

• 类$\mathrm{obj}(\mathsf{C})$包含范畴的对象 (object)。

• 对任意$\mathsf{C}$的两个对象，有集合$\hom_{\mathsf{C}}(A,B)$包含态射，其具有以下性质

• 对任意$\mathsf{C}$的对象$A$，存在至少一个态射 $1_A\in \hom_\mathsf{C}(A,A)$ 。称为到自身的恒等态射。

• 可以复合态射：对态射$f\in \hom_{\mathsf{C}}(A,B),g\in \hom_{\mathsf{C}}(B,C)$确定了态射$gf\in \hom_{\mathsf{C}}(A,C)$

• 复合态射具有结合律：如果$f\in \hom_{\mathsf{C}}(A,B),g\in \hom_{\mathsf{C}}(B,C),h\in \hom_{\mathsf{C}(C,D)}$则$(hg)f=h(gf)$。

• $\forall f\in \hom_{\mathsf{C}}(A,B)$都有$f 1_A=f,1_B f = f$

泛性质

Example $A,B$为集合，考虑笛卡尔积$A\times B$，

对任意$Z$和态射

存在唯一的态射$Z\rightarrow A\times B$使得

Example $A,B$为集合，考虑无交并$A\sqcup B$，

Example 设$R$为环，$S$为$R$的多重集。则存在一个交换环$S^{-1}R$和一个环同态$\pi:R\rightarrow S^{-1}R$，满足以下泛性质：对于任何将$1$映射到$1$的同态$\psi:R\rightarrow R’$，使得对所有$s\in S$，$\psi(s)$在$R’$中可逆，则存在唯一的同态$\tilde{\psi}:S^{-1}R\rightarrow R’$使得$\psi=\tilde{\psi}\circ \pi$。

Example $F (A)$是集合$A$上的自由群，如果存在一个集合函数$j : A → F (A)$，使得对于所有群$G$和集合函数$f : A → G$，存在唯一的群同态$\varphi : F (A) → G$使得图表

Example 多项式的泛性质：对于每个环同态$\varphi : R \to B$和每个$b \in B$，存在唯一的环同态$\phi : R[x] \to B$使得$\phi|_R = \varphi$且$\phi(x) = b$。

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