本文档介绍群的基本性质，包括群的定义、交换群、子群、群同态、正规子群和商群等核心概念。

群的基本性质

Definition 群是一个集合$G$配上一个二元运算$\cdot: G \times G \to G$（即$(a,b) \mapsto a \cdot b$），满足以下三个公理：

1. 结合律：对于任意$a,b,c \in G$，有$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

2. 单位元：存在$e \in G$（称为单位元或恒等元），使得对任意$a \in G$，有$e\cdot a=a=a\cdot e$

3. 逆元：对任意$a \in G$，存在$a^{-1} \in G$（称为$a$的逆元），使得$a\cdot a^{-1}=e=a^{-1}\cdot a$

注记：

• 单位元是唯一的：若$e,e’$都是单位元，则$e = e \cdot e’ = e’$
• 任意元素$a$的逆元是唯一的：若$b,c$都是$a$的逆元，则$b = b \cdot e = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = e \cdot c = c$
• 在不引起混淆的情况下，通常省略运算符号”$\cdot$”，简写$ab$代替$a \cdot b$

Proposition（群中消去律）：设$G$是群，对于任意$a,x,y \in G$，

• 若$ax = ay$，则$x=y$
• 若$xa = ya$，则$x=y$

Proof. 若$ax = ay$，两边左乘$a^{-1}$得$a^{-1}(ax) = a^{-1}(ay)$，即$(a^{-1}a)x = (a^{-1}a)y$，所以$ex = ey$，即$x=y$。类似地可以证明右消去律。

Definition 交换群定义为满足交换律$a\cdot b=b\cdot a$的群。

Definition（子群） 设$(G,\cdot)$是一个群，$H$是$G$的一个非空子集。如果$H$在$G$的运算限制下也构成一个群，则称$H$是$G$的子群，记作$H \leq G$。如果$H \neq G$，则称$H$是$G$的真子群，记作$H < G$。

Theorem（子群判定定理）：设$G$是群，$H \subseteq G$是非空子集。则以下条件等价：

1. $H$是$G$的子群
2. 对于任意$a,b \in H$，有$ab \in H$且$a^{-1} \in H$
3. 对于任意$a,b \in H$，有$ab^{-1} \in H$

Proof. $(1) \Rightarrow (2)$：若$H$是子群，则对乘法运算封闭，且每个元素在$H$中有逆元，故$(2)$成立。

$(2) \Rightarrow (3)$：若$a,b \in H$蕴含$ab \in H$且$a^{-1} \in H$，则对任意$a,b \in H$，$b^{-1} \in H$，所以$ab^{-1} \in H$。

$(3) \Rightarrow (1)$：首先，由于$H$非空，存在$a \in H$，由条件(3)，$aa^{-1} = e \in H$。其次，对任意$a \in H$，有$ea^{-1} = a^{-1} \in H$。最后，对任意$a,b \in H$，由$a,b^{-1} \in H$得$a(b^{-1})^{-1} = ab \in H$。因此$H$对乘法运算封闭，包含单位元，且每个元素都有逆元，所以$H$是子群。

Example：

• 整数加法群$(\mathbb{Z}, +)$是实数加法群$(\mathbb{R}, +)$的子群
• $n\mathbb{Z} = {nk : k \in \mathbb{Z}}$是$(\mathbb{Z}, +)$的子群
• 特殊线性群$SL_n(\mathbb{F}) = {A \in GL_n(\mathbb{F}) : \det A = 1}$是$GL_n(\mathbb{F})$的子群

群同态

Definition（群同态） 令$G,G’$为群。一个映射$\varphi:G\rightarrow G’$称为群同态，如果对所有$a,b\in G$有$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)$。

Definition（同态的核与像） 设$\varphi: G \to G’$是群同态。

• $\ker \varphi = {g \in G : \varphi(g) = e’}$称为$\varphi$的核，其中$e’$是$G’$的单位元
• $\operatorname{im} \varphi = {\varphi(g) : g \in G}$称为$\varphi$的像

Proposition： 设$\varphi: G \to G’$是群同态，则：

1. $\ker \varphi \leq G$（$\ker \varphi$是$G$的子群）
2. $\operatorname{im} \varphi \leq G’$（$\operatorname{im} \varphi$是$G’$的子群）

Proof.

1. 首先$e \in \ker \varphi$（因为$\varphi(e) = e’$），所以$\ker \varphi$非空。对任意$a,b \in \ker \varphi$，有$\varphi(a) = \varphi(b) = e’$，所以$\varphi(ab^{-1}) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1} = e’(e’)^{-1} = e’$，因此$ab^{-1} \in \ker \varphi$。由子群判定定理，$\ker \varphi \leq G$。

2. 首先$e’ = \varphi(e) \in \operatorname{im} \varphi$，所以$\operatorname{im} \varphi$非空。对任意$\varphi(a), \varphi(b) \in \operatorname{im} \varphi$，有$\varphi(a)\varphi(b)^{-1} = \varphi(a)\varphi(b^{-1}) = \varphi(ab^{-1}) \in \operatorname{im} \varphi$。由子群判定定理，$\operatorname{im} \varphi \leq G’$。

Definition（特殊类型的同态） 设$\varphi: G \to G’$是群同态：

• 如果$\varphi$是单射，则称$\varphi$为单同态（monomorphism）
• 如果$\varphi$是满射，则称$\varphi$为满同态（epimorphism）
• 如果$\varphi$是双射，则称$\varphi$为同构（isomorphism），记作$G \cong G’$
• 如果$G = G’$，则称$\varphi$为自同态；进一步如果$\varphi$是同构，则称$\varphi$为自同构

Proposition： 群同态$\varphi: G \to G’$是单射当且仅当$\ker \varphi = {e}$。

Proof. $(\Rightarrow)$：若$\varphi$是单射，显然$e \in \ker \varphi$。若$a \in \ker \varphi$，则$\varphi(a) = e’ = \varphi(e)$，由单射性得$a = e$，所以$\ker \varphi = {e}$。

$(\Leftarrow)$：若$\ker \varphi = {e}$，假设$\varphi(a) = \varphi(b)$，则$\varphi(ab^{-1}) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1} = \varphi(a)\varphi(a)^{-1} = e’$，所以$ab^{-1} \in \ker \varphi = {e}$，从而$ab^{-1} = e$，即$a = b$。因此$\varphi$是单射。

Definition（正规子群） 设$G$是群，$N \leq G$。如果对任意$g \in G$，有$gNg^{-1} = N$（其中$gNg^{-1} = {gng^{-1} : n \in N}$），则称$N$是$G$的正规子群，记作$N \triangleleft G$。

Theorem（正规子群的等价条件）： 设$G$是群，$N \leq G$。则以下条件等价：

1. $N \triangleleft G$（$N$是$G$的正规子群）
2. 对任意$g \in G$，$n \in N$，有$gng^{-1} \in N$
3. 对任意$g \in G$，有$gNg^{-1} = N$
4. 对任意$g \in G$，有$gN = Ng$（作为集合）

Proof. $(1) \Leftrightarrow (3)$：这是正规子群的定义。

$(3) \Rightarrow (2)$：若$gNg^{-1} = N$，则对任意$n \in N$，有$gng^{-1} \in N$。

$(2) \Rightarrow (3)$：若对任意$g \in G$，$n \in N$，有$gng^{-1} \in N$，则$gNg^{-1} \subseteq N$。对任意$n \in N$，考虑$g^{-1} \in G$，由条件知$g^{-1}ng \in N$，即存在$n’ \in N$使得$g^{-1}ng = n’$，所以$n = gn’g^{-1} \in gNg^{-1}$。因此$N \subseteq gNg^{-1}$，所以$gNg^{-1} = N$。

$(3) \Leftrightarrow (4)$：对任意$g \in G$，$gNg^{-1} = N$当且仅当$gN = Ng$。

Example：

• 任何阿贝尔群的子群都是正规子群
• $SL_n(\mathbb{F}) \triangleleft GL_n(\mathbb{F})$
• $A_n \triangleleft S_n$（$n$次交代群是$n$次对称群的正规子群）

Definition（商群） 设$N \triangleleft G$，定义$G/N = {gN : g \in G}$为$G$关于$N$的所有左陪集的集合。在$G/N$上定义乘法运算：$(aN)(bN) = (ab)N$，则$G/N$在此运算下构成群，称为$G$关于$N$的商群。

Proposition：上述乘法运算定义良好，即若$aN = a’N$，$bN = b’N$，则$(ab)N = (a’b’)N$。

Proof. 若$aN = a’N$，$bN = b’N$，则$a’ = an_1$，$b’ = bn_2$对某些$n_1, n_2 \in N$。于是： \(a'b' = (an_1)(bn_2) = a(n_1b)n_2\) 由于$N \triangleleft G$，有$bN = Nb$，所以$n_1b = bn_3$对某个$n_3 \in N$。因此： \(a'b' = a(bn_3)n_2 = (ab)(n_3n_2)\) 由于$n_3n_2 \in N$，我们得到$(a’b’)N = (ab)N$。

Proposition：自然投影$\pi: G \to G/N$，$\pi(g) = gN$是满同态，且$\ker \pi = N$。

Proof.

• 同态性：$\pi(ab) = (ab)N = (aN)(bN) = \pi(a)\pi(b)$
• 满射性：对任意$aN \in G/N$，有$a \in G$使得$\pi(a) = aN$
• 核：$\ker \pi = {g \in G : gN = N} = {g \in G : g \in N} = N$

Theorem（同态基本定理的第一形式） 令$G,G’$为群，$N\triangleleft G$，$\varphi:G\rightarrow G’$为满足$N\subset \ker \varphi$的群同态。则存在唯一的$\tilde{\varphi}:G/N\rightarrow G’$使得$\varphi=\tilde{\varphi}\circ \pi$。此外，$\tilde{\varphi}$是同态，且$\ker \tilde{\varphi} = \pi(\ker \varphi) = {aN : a \in \ker \varphi}$。

Proof. 定义$\tilde{\varphi}(gN) = \varphi(g)$。我们需要验证这个定义是合理的：

• 若$gN = g’N$，则$g’ = gn$对某个$n \in N$。由于$N \subseteq \ker \varphi$，有$\varphi(n) = e’$，所以$\varphi(g’) = \varphi(gn) = \varphi(g)\varphi(n) = \varphi(g)e’ = \varphi(g)$。
• 因此$\tilde{\varphi}$定义良好。

同态性：$\tilde{\varphi}((aN)(bN)) = \tilde{\varphi}((ab)N) = \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = \tilde{\varphi}(aN)\tilde{\varphi}(bN)$。

唯一性：若$\psi: G/N \to G’$满足$\varphi = \psi \circ \pi$，则对任意$g \in G$，$\varphi(g) = \psi(\pi(g)) = \psi(gN)$，所以$\psi = \tilde{\varphi}$。

核的计算：$\tilde{\varphi}(gN) = e’$当且仅当$\varphi(g) = e’$当且仅当$g \in \ker \varphi$。因此$\ker \tilde{\varphi} = {gN : g \in \ker \varphi} = \pi(\ker \varphi)$。

Theorem（同态基本定理/第一同构定理） 设$\varphi: G \to G’$是群同态，则$G/\ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi$。

Proof. 应用第一形式的同态基本定理，取$N = \ker \varphi$。由于$\ker \varphi \triangleleft G$且$\ker \varphi \subseteq \ker \varphi$，存在$\tilde{\varphi}: G/\ker \varphi \to G’$使得$\varphi = \tilde{\varphi} \circ \pi$。

$\tilde{\varphi}$是单射：$\ker \tilde{\varphi} = \pi(\ker \varphi) = {(\ker \varphi)N : N \in \ker \varphi} = {(ker \varphi)}$（单位元陪集），所以$\tilde{\varphi}$是单射。

$\tilde{\varphi}$的像等于$\operatorname{im} \varphi$：对任意$g \in G$，$\tilde{\varphi}(g\ker \varphi) = \varphi(g) \in \operatorname{im} \varphi$；反之，对任意$y \in \operatorname{im} \varphi$，存在$g \in G$使得$\varphi(g) = y$，所以$\tilde{\varphi}(g\ker \varphi) = y$。

因此$\tilde{\varphi}: G/\ker \varphi \to \operatorname{im} \varphi$是同构。

Theorem（第二同构定理/钻石同构定理） 设$G$是群，$H \leq G$，$K \triangleleft G$，则$HK \leq G$，$H \cap K \triangleleft H$，且$H/(H \cap K) \cong HK/K$。

Proof.

1. $HK \leq G$：由于$K \triangleleft G$，对任意$h_1,h_2 \in H$，$k_1,k_2 \in K$，有$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1} = h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1} = h_1(k_1k_2^{-1})(h_2^{-1}Kh_2) = h_1(k_1k_2^{-1})K = h_1K$。实际上，由于$K \triangleleft G$，$h_2^{-1}kh_2 \in K$对任意$k \in K$，所以$HK$对乘法和逆元封闭。

2. $H \cap K \triangleleft H$：对任意$h \in H$，$x \in H \cap K$，有$hxh^{-1} \in H$（因为$x \in H$）且$hxh^{-1} \in K$（因为$K \triangleleft G$，$x \in K$）。所以$hxh^{-1} \in H \cap K$。

3. 构造同态$\varphi: H \to HK/K$，$\varphi(h) = hK$。这是良定义的，因为$H \leq G$，$K \triangleleft G$，所以$hK \in HK/K$。

   • $\varphi$是同态：$\varphi(h_1h_2) = (h_1h_2)K = (h_1K)(h_2K) = \varphi(h_1)\varphi(h_2)$

   • $\varphi$是满射：对任意$hkK \in HK/K$（其中$h \in H, k \in K$），有$hkK = hK$（因为$k \in K$），所以$\varphi(h) = hK = hkK$

   • $\ker \varphi = {h \in H : hK = K} = {h \in H : h \in K} = H \cap K$

   由第一同构定理，$H/(H \cap K) \cong HK/K$。

Definition 单群定义为没有非平凡正规子群的群。

Definition $\varphi:G\rightarrow G’$ 同态。

Example（更多群的例子）

• $(\mathbb{Z}, +)$：整数加法群（无限循环群）
• $(\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)$：有理数、实数、复数加法群
• $(\mathbb{Q}^\ast, \cdot), (\mathbb{R}^\ast, \cdot), (\mathbb{C}^\ast, \cdot)$：非零有理数、实数、复数乘法群
• $\mathbb{Z}_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$：模$n$的加法群（$n$阶循环群）
• $U(n) = {k \in \mathbb{Z}_n : \gcd(k,n) = 1}$：模$n$的单位群（可逆元乘法群）
• $D_n$：$n$边形的二面体群（$2n$个元素：$n$个旋转和$n$个反射）
• $S_n$：$n$个元素的对称群（$n!$个元素）
• $A_n$：$n$个元素的交错群（偶置换组成的群，$|A_n| = n!/2$）
• $Q_8 = {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}$：四元数群（8个元素的非交换群）

Proposition（循环群的结构）：

• 无限循环群$G = \langle a \rangle$同构于$(\mathbb{Z}, +)$
• 有限循环群$G = \langle a \rangle$（$|G| = n$）同构于$(\mathbb{Z}_n, +)$

Definition（群的阶）

• 元素$a$的阶$o(a)$是使$a^n = e$的最小正整数$n$（若不存在这样的$n$，则$a$的阶为无穷）
• 群$G$的阶$|G|$是$G$中元素的个数

Theorem（拉格朗日定理） 设$G$是有限群，$H \leq G$，则$|H|$整除$|G|$，且$|G| = |H|[G:H]$，其中$[G:H] = |G/H|$是$H$在$G$中的指数（左陪集个数）。

Corollary：

1. 有限群中任意元素的阶整除群的阶
2. 素数阶群必为循环群

置换群

Definition（置换群） 设$S$是有限集合，$S$上的置换群是$S$的所有双射变换构成的群，记作$\operatorname{Sym}(S)$。当$S = {1, 2, \ldots, n}$时，记作$S_n$，称为$n$次对称群，其阶为$n!$。

Definition（轮换） 长度为$r$的轮换$(a_1 a_2 \cdots a_r)$表示置换$a_1 \mapsto a_2 \mapsto \cdots \mapsto a_r \mapsto a_1$，其他元素保持不变。

Theorem（置换的轮换分解） 任意置换都可以唯一地分解为不相交轮换的乘积。

Definition（对换与奇偶性）

• 对换是长度为2的轮换
• 任意置换可以表示为对换的乘积
• 一个置换的奇偶性：若它能表示为偶数个对换的乘积，则为偶置换；否则为奇置换
• $A_n$（$n$次交错群）是$S_n$中所有偶置换构成的子群

Example：

• $S_3$有6个元素：${e, (12), (13), (23), (123), (132)}$
• $A_3 = {e, (123), (132)} \cong \mathbb{Z}_3$
• $S_4$有24个元素，$A_4$有12个元素

矩阵群

Example（矩阵群）

• $GL_n(\mathbb{F})$：域$\mathbb{F}$上$n\times n$可逆矩阵的一般线性群
• $SL_n(\mathbb{F})$：域$\mathbb{F}$上行列式为1的$n\times n$矩阵的特殊线性群，是$GL_n(\mathbb{F})$的正规子群
• $O_n(\mathbb{R})$：$n$维实正交群，即满足$AA^T = I$的$n\times n$实矩阵群
• $SO_n(\mathbb{R})$：特殊正交群，行列式为1的正交矩阵群，是$O_n(\mathbb{R})$的正规子群
• $U_n(\mathbb{C})$：$n$维酉群，即满足$AA^* = I$的$n\times n$复矩阵群（其中$A^*$是$A$的共轭转置）
• $SU_n(\mathbb{C})$：特殊酉群，行列式为1的酉矩阵群

二面体群

Example（二面体群） $D_{2n}$是正$n$边形的对称群，有$2n$个元素：$n$个旋转和$n$个反射。具体地，$D_{2n}$由两个生成元$r,s$生成，满足关系：

• $r^n = s^2 = e$
• $srs = r^{-1}$（或等价地，$sr = r^{-1}s$）

例如，$D_6 = D_{2 \cdot 3}$是正三角形（或等边三角形）的对称群，有6个元素：${e, r, r^2, s, sr, sr^2}$，其中$r$是旋转$120^\circ$，$s$是关于某条轴的反射。实际上，$D_6 \cong S_3$。

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