本文档系统介绍环论、模论和多项式环理论，以及它们在矩阵相似标准形理论中的应用。首先建立环的基本概念，包括子环、理想、素理想和极大理想，利用Zorn引理证明极大理想的存在性，并给出环的同构定理。然后引入模的概念，建立模的直和分解理论和同调代数基础定理。在多项式环$K[t]$理论中，证明欧氏整环、主理想整环和唯一分解整环之间的包含关系，研究不可约多项式的性质。最后将上述理论应用于矩阵的相似分类，引入$\lambda$-矩阵的相抵概念，证明矩阵相似与$\lambda$-矩阵相抵的等价性，系统推导不变因子、初等因子和行列式因子的理论，最终给出有理标准形和Jordan标准形的完整构造，并通过准素分解和循环分解实现空间的直和分解。

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1. 环

定义 [子环]

环$R$的子环是$R$的子集，其满足在$R$上定义的$+,\cdot$运算（环的性质）。

定义 [理想]

（双边）理想是$R$的子集$I$使得$(I,+)$为群， 并且对任意$x\in R,y\in I$，$xy\in I \ \& \ yx\in I$。

注意理想不一定为子环。

命题

${I_i}{i\in J}$为一族理想/子环， 那么$\bigcap{i\in J} I_i$为理想/子环。

命题

交换环只有两个理想$\Leftrightarrow$ $R$ 为域。

定义

令${{x_i}}{i \in J}\subset R$。 由${{x_i}}{i \in J}$生成的理想= \(\bigg\{\sum_{j=1}^n a_jx_{i_j}b_j : a_j,b_j\in R \bigg\}\)

定义 [主理想]

如理想$I$可以由一个元素生成，那么这个理想为主理想。

定义 [除环 (dividen ring)]

带有单位元$1\ne0$的环$R$并且每个元素都是unit（可逆）的环是除环 （dividen ring）。 域就是交换除环。 （通俗来说可以做除法的环）

定义 [整环 (integral domain)]

整环是交换环其中任意2个非零元素的积非零。 （$a\ne 0, b\ne 0\Longrightarrow ab\ne 0$, $ab=0\Longrightarrow a=0|b=0$）

定义 [真理想 (proper ideal)]

即不为$R$的理想。

定义 [素理想 (prime ideal)]

素理想$I$,$a\in I,b\in I, a b \in I \Longrightarrow (a \in I | b \in I)$ 即 $a\notin I \& b \notin I \Longrightarrow a b \notin I$

等价定义:$A,B$ideal of $R$, $$AB\subset P\Longrightarrow A\subset P

B\subset P$$

定义 [素理想的判定]

带有单位元的交换环中$P$是素理想，当且仅当$R\backslash P$是整环。

定义 [极大理想 (maximal ideal)]

极大理想是不包含于任意其他真理想的理想。

命题 [极大理想的判定]

(i) 如果$M$是maximal并且$R$是交换的，那么商环$R\backslash M$是域。 (ii) 如果商环$R\backslash M$是除环，那么$M$是maximal。

引理 [Zorn引理]

假设$S$为偏序集，使得$S$的每个全序子集都有上界。那么$S$包含至少一个极大元素。

注意到Zorn引理和选择公理等价。

命题

$R$的每个真理想都包含在某个极大真理想中。 特别的，任何环$R$都有一个极大真理想。 并且$R$的每个非unit元素都包含在一个极大理想中。

证明 (使用Zorn引理)

设这个真理想为$I$。

为了使用Zorn引理，我们以集合的包含关系为偏序关系，那么包含$I$的真理想的集合是一个偏序集。

我们只要证明这个偏序集的每个全序子集都有上界。

设这个全序子集为$\mathcal{C}={C_i:i\in I}$。

取$C=\bigcup_{i\in I}C_i$，这显然满足上界的条件。 我们只要证明它是真理想即可。

它是理想是容易验证的。

$C\ne R$可以通过证明$1\notin C$得到。

定理 [First Isomorphism Theorem for Rings]

If $R$ and $S$ are rings and $φ:R → S$ is a ring homomorphism then $R/\ker(φ) ∼= Im(φ)$.

定理 [Correspondence Theorem for Rings]

Let $I$ be an ideal of a ring $R$. There is a bijection $ψ$ from the set of subrings of $R$ containing $I$ and the set of subrings of $R/I$. The bijection preserves inclusion$ (S_1 ⊆ S_2\Leftrightarrow S_1ψ ⊆ S_2ψ)$, and ideals of $R$ containing $I$ correspond to ideals of $R/I$.

定理 [Second Isomorphism Theorem for Rings]

If $I$ and $J$ are ideals of a ring $R$ with $I \le J$ then $(R/I)/(J/I) \cong R/J$.

定理 [Third Isomorphism Theorem for Rings]

If R is a ring, I is an ideal of R and S is a subring of $R$, define $I +S = {x+y : x ∈ I, y ∈ S}$. Then

(a) $I +S$ is a subring of $R$ containing $I$; (b) $I ∩S$ is an ideal of $S$; (c) $(I +S)/I \cong S/I ∩S$

2. 模

定义 [模 (module)]

$R$是环。定义$R$-模$V$为带有$+$的和数乘$R\times V \rightarrow V$的交换群。

定义 [子模 (submodule)]

满足$+$和数乘的子集。

例

环$R$的理想$I$是$R$-模，同时因为$R$为R-模所以$I$可以视为$R$的子模。

定义 [R-模的同态]

R-模的同态定义为，如果$M,N$为R-模，$f:M\rightarrow N$，使得

1. $f(m+m’) = f(m) + f(m’)$
2. $f(rm) = r f(m)$ 对所有$r\in R,m,m’\in M$成立

定义 [模的陪集 (coset)和商集 (quotient module)]

类比向量空间的定义。

命题 [泛性质 (universal property)]

假设 $N\subset M$ 是子模。$f:M\rightarrow M’$同态 “factor through” canonical projection $\pi :M\rightarrow M/N$ 当且仅当 $N\subset \ker f$

\[\xymatrix{ M \ar[d]^{\pi} \ar[r]^{f} & M'\\ \ M/N \ar[ru] \\ }\]

定理 [第一同构定理 (first isomorphism theorem)]

令$f:M\rightarrow N$为$R$-模的同态，那么有同构$\bar{f}:M/\ker f\rightarrow \mathrm{Im} f$

推论

$f:M\rightarrow N$ 满射。 那么$N \cong M/\ker f$，并且之间有双射。

定义

令$M_1,\ldots,M_k$为$M$的子模。定义$M_1+\cdots+M_k={x_1+\cdots+x_k

x_i\in M_i}$。称$M$是$M_1,\cdots,M_k$的直和如果$M=M_1+\ldots+M_k$并且每个$x\in M$都可以唯一写出。

类似于向量空间，我们可以给出直和判定。

命题 [直和判定]

定义 [直积]

定义 [有限生成R-模]

如果$M$可以由有限元素生成，那么$M$是有限生成R-模。

命题

$R$-模是有限生成的当且仅当存在满同态$f:R^n\rightarrow M$对某个$n$成立。

定义 [线性无关]

定义 [自由R-模 (free R-module)]

如果$M$有一个线性无关的元素集$x_1,\cdots,x_n$生成，那么$M$称为（有限阶）自由 $R$-模。 基 (basis) 和阶 (rank) 随之定义。

命题

$M$为自由 $R$-模，$R$交换。$M$的阶和基的选取无关。两组基由可逆矩阵关联。

3. 多项式环$K[t]$

$K$域，$K[t]$是交换的。

定义 [指数]

多项式的指数，以及它们之间的运算关系是不言而喻的。

通过$\deg f\cdot g = \deg f + \deg g$可知$K[t]$是整环。

定义 [欧氏整环 (Euclidean domain)]

欧氏整环是整环$R$，有一个映射$\delta:R\backslash 0\rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 0}$ 使得

1. $a,b\in R, b\ne 0$， 则$\exists q,r\in R, a=bq+r$，有$r=0$或$\delta(r)<\delta(a)$。(欧几里得算法，辗转相除法)
2. 如果$a,b\ne 0$那么$\delta(a)\le \delta(ab)$

欧氏整环就是满足带余除法的性质的环。

注意整数唯一分解性的证明，欧氏整环一定是唯一分解整环。

定义 [主理想整环 (PID, principal ideal domain)]

主理想整环是整环使得每个理想都是主理想。

命题

欧氏整环一定是主理想整环。

命题

令$I$为$K[t]$的理想，则存在$g\in I$使得$I=(g)$。那么$K[t]$是主理想整环。

欧氏环 $\subset$ 主理想整环

定义 [整除 (divide), associates]

$f \in K[t]$整除$g\in K[t]$，如果$g=f h$。记为$f\mid g$。

$a,b\in R$ associates if $a\mid b, b\mid a$

命题

如下关系

(i) $f \mid g \Leftrightarrow (g)\subset (f)$ (ii) $a,b$ associates iff $(a)=(b)$ (iii) $u$ is unit iff $u\mid r, \forall r\in R$ iff $(u)=R$ (iv) associates is equivalent relation on $R$

定义 [不可约多项式]

命题

如下等价

1. $f$不可约
2. $K[t]/(f)$是域，即$(f)$是maximal ideal.
3. $K[t]/(f)$是整环 ，即$(f)$是素理想。

证明

类比素数的情形。

定义 [唯一分解整环（UFD, unique factorization domain）]

整环$R$是UFD当

(i) 所有非单位元素都可以写成$a=c_1\cdots c_n$ (ii) 分解唯一。

主理想整环是唯一分解整环。

PID $\subset$ UFD

4. K[t]上的矩阵

4.1 K[t]上矩阵的相抵

$A(t)\in M_n(K[t])$可逆$\Leftrightarrow$ $\det A(t)\in K\ne0$

定义 [相抵 (equivalent)]

$A(t), B(t)\in M_n(K[t])$相抵如果存在可逆$P(t), Q(t)$使得$B(t)=P(t)^{-1} \cdot A(t) \cdot Q(t)$.

我们注意到相抵比相似更好刻画，如下这个定理道尽了$\lambda$-矩阵相抵等价于原来矩阵的相似。

命题 [相似-相抵]

$A, B\in M_n(K)$相似 $\Leftrightarrow$ $tI-A, tI-B$相抵

证明

若$A$与$B$相似，则存在$K$上的非奇异阵$P$，使得$B=P^{-1}A P$，于是\(P^{-1} (\lambda I - A) P = \lambda I -P^{-1} A P = \lambda I - B\) 把$P$看成常数$\lambda$-矩阵，上式表明$\lambda I -A$与$\lambda I - B$ 相抵。

反过来如果$\lambda I -A$与$\lambda I - B$ 相抵，即，存在$M(\lambda),N(\lambda)$使得\(M(\lambda)(\lambda I - A) N(\lambda) = \lambda I -B\) 其中$M(\lambda),N(\lambda)$都是有限个初等矩阵之积，因而都是可逆阵。因此可以将上式写为 \(M(\lambda) (\lambda I - A) = (\lambda I - B) N(\lambda)^{-1}\) 设$M(\lambda)=(\lambda I - B) Q(\lambda)+R$ 代入得 \(R(\lambda I -A) = (\lambda I - B)[N(\lambda)^{-1}- Q(\lambda)(\lambda I - A)]\) 上式左边是次数小于等于$1$的矩阵多项式，因此上式右边中括号内的多项式的次数小于等于0，也就是一个常数矩阵设为$P$。故 \(R(I \lambda - A)=(\lambda I - B)P\) 整理为$(R-P)\lambda = RA-BP$ 再次比较次数的$R=P,RA=BP$，只要证明

命题

当且仅当 $A(t)$与 $B(t)$具有相同的行列式除数/不变因子/基本因子时，它们是等价的（对于基本因子，假设 $\mathrm{rank} A(t) = \mathrm{rank} B(t)$）

命题

设 $A(t) ∈ M_{m×n}(K[t])$。通过行列基本运算，$A$ 可以化简成矩阵 $\mathrm{diag}(d_1, \cdots, d_r, 0, \cdots, 0)$，其中 $d_i ∈ K[t]$ 是首一多项式。使得$d_1

\ldots

d_r$。

推论

$A[t]$可逆当且仅当它可以化为初等矩阵的乘积。

4.2 方阵相似标准型

定义 [不变因子 (invariant factor)]

我们把如上多项式 $d_i$ 称为 $A(t)$ 的不变因子。 矩阵 $\mathrm{diag}(d_1, \ldots , d_r, 0, \ldots , 0)$ 称为 $A(t)$ 的Smith正则表达式。

定义 [行列式因子 (determinant divisor)]

设 $A(t) ∈ Mn(K[t])$的秩为 $r$。产生的 $K[t]$ 的理想，其中 $D_k$ 是一元多项式。那么 $D_k (1 ≤ k ≤ r)$ 称为第 $i$ 个 则 $D_k(1 ≤ k ≤ r)$被称为 $A[t]$ 的第 $k$ 个行列式因子 (determinant divisor)，等于所有$k$-阶 子式的最大公约数。

定义 [初等因子 (elementary factor)]

将不变因子 (invariant factor) $d_i$ 分解， $d_i = \prod_{j=1}^s p_j(t)^{a_{i,j}}$，其中$p_i$是首一不可约多项式而$a_{i,j}>0$。现在称这些$p_j(t)^{a_{i,j}}$的集合为$A(t)$的初等因子 (elementary factor)。

命题 [$\lambda$-矩阵相抵判定]

$A(t)$相抵于$B(t)$ iff 它们有同样的 行列式因子/不变因子/初等因子集 （对初等因子, 假设 $\mathrm{rank} A(t) = \mathrm{rank} B(t)$).

定义 [友矩阵 (companion matrix)]

对$f(t) = t^n + c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1 t+c_0$，它的友矩阵为 \(\begin{pmatrix} & & & & -c_0 \\ 1 & & \cdots & & -c_1 \\ & 1 & \cdots & & -c_2 \\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & 1 & -c_{n-1} \\ \end{pmatrix}\)

性质 [友矩阵]

1. $\det(\lambda I-A)=f(\lambda)$
2. 友矩阵$A$的最小多项式和特征多项式都为$f(\lambda)$。

定义 [Jordan块 (Jordan block)]

\[J = \begin{pmatrix} \lambda_0 & & & \\ 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda_0 \end{pmatrix}\]

性质 [Jordan块]

定理 [相似]

假设 $A\in M_n(K)$，令$d_1(t), \cdots, d_r(t)$为不变因子 (invariant factor)， $p_1^{k_1},\cdots,p_s^{k_s}$为初等因子。那么$A$相似于以下$M_n(K)$中的矩阵: \(C = \left[ \begin{aligned} C(d_1) & & \\ & \ddots & \\ & & C(d_r) \end{aligned} \right] , C' = \left[ \begin{aligned} C(p_1^{k_1}) & & \\ & \ddots & \\ & & C(p_s^{k_s}) \end{aligned} \right] , J = \left[ \begin{aligned} J(p_1^{k_1}) & & \\ & \ddots & \\ & & J(p_s^{k_s}) \end{aligned} \right]\)

定义 [有理标准型 (rational normal form), Jordan标准型 (Jordan canonical form)]

如上$C$为有理标准型；如果$K$是algebraically closed，那么$J$是Jordan 标准型。

推论

$A,A^t$相似。

推论 [相似的判定]

$A,B$相似当且仅当它们有同样的有理标准型或者Jordan标准型。

推论 [相似关系在域扩张下不变]

令$K\subset K’$为域扩张。假设$A,B\in M_n(K)$在$M_n(K’)$中相似，那么它们在$M_n(K)$中相似。

证明

因为有理标准型始终在原来的$M_n(K)$中。

定义 [零化多项式 (aniihilating polynomial)]

$A$的零化多项式指多项式$f\in K(t)$使得$f(A)=0$，$A$的零化多项式组成$K[t]$的一个理想，由$A$的极小多项式生成。

推论

（不变因子中的）$d_r$是$A$的极小多项式

推论 [可对角化条件]

假设 $A\in M_n(K)$， 如下等价 （1）$A$ 可对角化 （2）初等因子是线性多项式。 （3）不变因子没有重根。 （4）最小多项式没有重根。 （5）对任意$c\in \mathbb{C}$，$\mathrm{rank}(c I-A)=\mathrm{rank}((c I - A)^2)$。

4.3 空间分解

命题 [准素分解 (Primary decomposition)]

线性变换$T$，令$m(t)=p_1(t)^{r_1}\cdots p_s(t)^{r_s}$为$T$的极小多项式，其中$p_i(t)$是不同的不可约多项式。那么$V=\oplus \ker p_i(t)^{r_i}$

定义 [循环子空间 (cyclic subspace)]

令$v\in V$。那么$V$由$v$生成的循环子空间为最小的包含$v$的不变子空间，即由$v,T(v),T^2(v),\ldots$生成的子空间，将这个空间记为$K[t]v$。

推论 [循环分解 (cyclic decompposition)]

存在$v_1,\ldots,v_r\in V$使得$V=\oplus_i K[t] v_i$。

同时利用准素分解和循环分解。 设$A$为$n$阶复方阵。由准素分解知$A$相似于 \(P^{-1}A P = \mathrm{diag} (A_1,\ldots, A_s)\) 其中$A_i$的特征多项式为$(\lambda-\lambda_i)^{d_i}$，其中$\lambda_i$互异。

再设$A_i$的有理（循环）标准形为 \(P_i^{-1}A_i P_i = \mathrm{diag}(A_{i1},\ldots,A_{i r_1})\)

其中$A_{ij}$是$m_{ij}=(\lambda-\lambda_i)^{k_{i j}}$的友矩阵$C(m_{ij})$

令$B_{i j}=A_{i j}-\lambda_i I$，其特征多项式等于极小多项式$\lambda^{k_{i j}}$，故相似于$\lambda^{k_{i j}}$的友矩阵 \(B_{i j} \cong C(\lambda^{k_{i j}}) = \begin{pmatrix} 0 & & & \\ 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)

所以$A_{i j}=\lambda_i I + B_{i j}= J_{k_{i j}}(\lambda_i)$

5. K[t]上的模

5.1 模的分解

命题

$R$是PID，有限生成的$R$-模$M$的子模也是有限生成的。

证明

对$M$的阶归纳。

引理 [自由$K$-模的子模]

令$M$是有限阶自由$K-$模。那么任意$M$的子模都是有限阶自由$K-$模。

注

这个结论对PID也成立。

推论 [有限生成的子模]

$K[t]$的任何有限生成的模都是有限生成的。

定理

令$M$为有限阶自由$K[t]$模，$N\subset M$为子模。那么$N$是自由并且存在$M$的一组基$f_1,\ddots,f_n$，整数$r\ge 0$，以及首一多项式$d_1\mid\cdots\mid d_r$使得$d_1 f_1,\ldots,d_r f_r$是$N$的一组基。而且$M/N \cong K[t]/(d_1)\oplus \cdots \oplus K[t]/(d_r)\oplus K[t]^{n-r}$。

命题

令$L$为有限生成$K[t]$模，那么存在$k,r\ge 0$以及首一多项式$d_i=\prod_{j=1}^s p_j(t)^{a_{i,j}}$，$d_1\mid\cdots\mid d_r$，并且 \(L \cong K[t]/(d_1)\oplus \cdots \oplus K[t]/(d_r)\oplus K[t]^k \cong \bigg( \bigoplus_{i=1}^r \bigoplus_{j=1}^s K[t]/(p_j^{a_{i,j}}) \bigg) \oplus K[t]^k\)

命题

令$R$为欧氏域。令$A\in M_{m\times n}(R)$。证明使用行列初等变换，$A$可以化简到$\mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_r,0,\cdots,0)$，其中$d_1\mid\cdots\mid d_r$。

证明

不失一般性假设$A\ne 0$，我们证明如下引理： 引理

通过行列基本运算，$A$可以化简成形为$\left[ \begin{matrix} d_1 & 0
0 & A_1 \end{matrix} \right]$的矩阵，其中$d_1\in R,A_1\in M_{(m-1)\times(n-1)}(R)$而且$d_1$整除$A_1$的所有项。

引理的证明

因为$R$是欧氏环，其带有欧氏函数$\delta:R\backslash0\rightarrow \mathbb{Z}{\ge0}$。对任意$B=(b{ij})\in M_{m\times n}(R)\backslash 0$，定义$\delta(B)-\min{\delta(b_{ij}):b_{ij}\ne0}$。令$S$为包含所有可以使用初等行列变换得到的矩阵。因为$\mathbb{Z}{\ge 0}$离散有下界，存在$C=(c{ij})\in S$使得$\delta(C)=\min {\delta (B):B\in S}$。不妨设$\delta(c_{11})=\min{\delta(c_{ij})}$。

命题

令$R$为PID。令$A\in M_{m\times n}(R)$。证明存在可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ=\mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_r,0,\cdots,0)$，其中$d_1\mid\cdots\mid d_r$。

证明

$R$为PID，则是UFD。 令$S={P_1 A Q_1:P_1,Q_1$可逆$}$。 \(T = \left[ \begin{matrix} s & & & & -a_{1j}/d & & & \\ &1& & & & & & \\ & &\ddots & & & & & \\ & & &1 & & & &\\ t & & & & a_{11}/d & & & \\ & & & & &1 & & \\ & & & & & &1 & \\ & & & & & & & 1 \end{matrix} \right]\)

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