本文档系统介绍线性算子理论及其在各类空间上的应用。首先建立对偶空间和对偶算子的基本概念，证明对偶映射的矩阵为原矩阵的转置。然后深入研究双线性型理论，包括对称双线性型、交错型和厄尔米特型，证明惯性定理并建立正定性理论。在欧氏空间和厄尔米特空间框架下，引入伴随变换的概念，系统研究正交算子、酉算子、对称算子、厄尔米特算子和正规算子的性质，给出实谱定理和复谱定理的完整证明，为理解算子的谱分解提供理论基础。

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1. 对偶空间，对偶算子

对偶空间是双线性型的一个例子。

定义 [线性算子(linear opeartor)]

令$V$为域$K$上的向量空间。$V$上的线性算子是线性变换$\varphi: V \rightarrow K$

$V$上的所有线性算子显然组成向量空间。

定义 [对偶空间(dual space)]

记$V^*$为$V$上的所有线性算子组成的空间。

如果我们有$V$的一组基，可以自然地给出$V^*$的一组基。

定义 [对偶基(dual basis)]

如果${e_1,e_2,\cdots,e_n}$是$V$的一组基，那么${e_1^,\cdots,e_n^}$是$V$的一组基，其中$e_i^(e_i)=1,e_i^*(e_j)=0,j\ne i$。

但是没有这组基的话我们是没有办法给出对偶基的。

如果考虑如下记号$\langle x,\phi \rangle=\phi(x)$，其中$x\in V,\phi \in V^*$，可以发现它对于两个分量都满足线性性质。

还可以定义一个映射$U\rightarrow V$的对偶映射$V^\rightarrow U^$

定义 [对偶映射]

$T:U\rightarrow V$，定义$T^:V^\rightarrow U^*,\varphi \mapsto \varphi \circ T$为$T$的对偶映射。

以上我们都是通过向量空间的角度考虑这个问题。但是我们知道，线性映射都对应一组特定基下的矩阵。

命题 [对偶映射的矩阵]

令$T:U\rightarrow V$为线性映射，${e_i}$,${f_i}$分别为$U,V$的一组基。若$A$为$T$在这组基下相对应的矩阵，那么$T^$在对偶基${f_i^}$,${e_i^*}$下相对应的矩阵为$A^t$.

2. 双线性型

定义 [双线性型(bilinear form)，厄尔米特型(Hermitian form)]

$K$上向量空间$V$上的双线性型是映射$\langle \ , \ \rangle:V\times V’\rightarrow K:(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle$关于每个变量都是线性的。

如果$(e_1,\cdots,e_n)$是$V$的一组基，而且取$a_{i,j}=\langle e_i, e_j \rangle$。那么$A=(a_{i,j})_{i,j}$是双线性型所对应的矩阵。而且$\langle x,y\rangle = x^t A y$。

命题

假设$(e_1’,\cdots,e_n’)=(e_1,\cdots,e_n)P$是$V$的另一组基，并且$A$是$\langle \ , \ \rangle$相对应的矩阵。那么$A’=P^t A P$，即$A$合同于$A’$。

定义 [退化]

设 $\langle , \ \rangle$ 是双线性型。 如果不存在$y\in V’$使得$\langle v,y \rangle =0 ,\forall v \in V$或者$x\in V$使得$\langle x, v \rangle = 0 ,\forall v \in V’$。那么称其为非退化的(non-degenerate)。

考虑$V/K$上的对称或反对称双线性型，以及$V/\mathbb{C}$上的厄尔米特型。

定义

称$\langle \ , \ \rangle$为非退化的，如果$V^\perp={0}$

命题

定义$\langle \ , \ \rangle$如上，那么如下命题等价

1. $\langle \ , \ \rangle$非退化。
2. 线性变换 $V\rightarrow V^*,v\mapsto \langle v, \rangle$是单射。
3. 线性变换 $V\rightarrow V^*,v\mapsto \langle v, \rangle$是同构。
4. 对应矩阵$A$,$\det(A)\ne 0$。(对于任意基)

命题

定义$\langle \ , \ \rangle$如上

1. $\langle \ , \ \rangle$在$U$上非退化，那么$V=U\oplus U^\perp$。
2. $\langle \ , \ \rangle$在$U,V$上非退化，那么$(U^\perp)^\perp=U$。

定义 [对称双线性型，厄尔米特型]

如果双线性型满足$\langle x,y \rangle=\langle y,x \rangle$，那么称其为对称的。 厄尔米特型不是对称双线性型。

命题 [对称双线性型，厄尔米特型对应的矩阵]

对称双线性型$A=A^t$，厄尔米特型$H=\bar{H}^t$。

我们在下面主要考虑对称双线性型和厄尔米特型。

2.1 交错型

定义 [交错型(alternating form)]

如果$\langle \ , \ \rangle$满足$\langle x , x \rangle=0$, $\forall x\in V$，那么它是一个交错型。

定义 [交错矩阵(alternating matrix)]

交错矩阵即skew-symmetric matrix。满足$A=-A^t$。

命题

令$\langle \ ,\ \rangle$为向量空间$V/K$上的交错双线性型。 那么存在$V$的一组基${e_1,f_1,\cdots,e_r,f_r,g_{r+1},\cdots,g_n}$ 使得对$x=\sum a_i e_i+\sum b_i f_i+\sum c_i g_i$ 以及$x’=\sum a_i’ e_i+\sum b_i’ f_i+\sum c_i’ g_i$， 有$\langle x,x’\rangle=\sum(a_i b_i’-a_i’b_i)$

推论

交错矩阵的阶是偶数。

3. 正交

定义 [正交]

如果$u,v\in V$，$\langle u,v \rangle=0$，那么$u,v$正交，$u\perp v$。

定义 [正交子空间(orthogonal subspace)]

对$U\subset V$，定义它的正交子空间为$W^\perp={v\in V:\langle v,w \rangle=0 ,\forall w\in W }$

3.1 正交基

定义 [正交基，标准正交基]

命题

令$\langle \ ,\ \rangle$为一在向量空间$V/K(\mathrm{char}(K)\ne 2)$对称双线性型， 或者一在向量空间$V/\mathbb{C}$上的厄尔米特型。 那么$V$包含一组正交基。

证明

只需正交化。

定理 [惯性定理]

令$\langle \ ,\ \rangle$为一向量空间$V/K$对称双线性型， 或一在向量空间$V/\mathbb{C}$上的厄尔米特型。 则存在一组正交基${e_1,\cdots,e_n}$，使得 $\langle e_1,e_1\rangle=\cdots=\langle e_r,e_r\rangle=1$， $\langle e_{r+1},e_{r+1}\rangle=\cdots=\langle e_r+s,e_r+s\rangle=-1$， $\langle e_{r+s+1},e_{r+s+1}\rangle=\cdots=\langle e_n,e_n\rangle=0$。 而且$r,s$无关正交基的选取。

$r$被称为正惯性指数，$s$被称为负惯性指数，$r-s$被称为符号差。 正负惯性指数分别对应正负特征值的数量。

3.2 正定实对称方阵

定义 [正定二次型，正定对称双线性型]

若对任意$0\ne \alpha\in \mathbb{R}^(n)$均有$Q(\alpha)>0$，则二次型$Q$是正定的。 如果对任意$\alpha\ne 0$，$g(\alpha,\alpha)>0$那么$g(\alpha,\beta)$是正定的。

定义 [正定实对称方阵]

$\alpha^t S \alpha > 0$

定理 [正定实对称方阵]

设$S$为$n$阶实对称方阵，以下命题等价：

1. $S$是正定的。
2. $S$实正交相合于$\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$。
3. $S=P^t P$，其中$P$为可逆实方阵。
4. $S$的$n$个顺序主子式均为正数。
5. $S$的所有主子式均为正数。
6. $S=S_1^2$其中$S_i$为正定实对称多项式。

定理 [半正定实对称方阵]

1. $S$ 半正定。
2. $S$ 实相合于$\begin{pmatrix} I_r & 0
   0 & 0 \end{pmatrix}$
3. $S=Q^t Q$，其中$Q$为实方阵。
4. $S$的所有主子式均为正数或$0$。

定理 [极分解 (polar decomposition)]

任意实方阵$A$可表为$A=S\Omega=\Omega_1 S_1$，其中$S,S_1$是半正定实对称方阵，$\Omega,\Omega_1$是实正交方阵，而且$S,S_1$都是唯一的。

4. 欧氏空间和厄尔米特空间

欧氏空间$V$是带有正定对称双线性型$( \ , \ ):V\times V\rightarrow \mathbb{R}$实向量空间。 此双线性型称为内积。

4.1 伴随变换

定义

令$U,V$为欧氏空间或者厄尔米特空间， 并且$T:U\rightarrow V$是线性变换。 $T$的伴随变换$T^{ad}$指如下的图表交换 \(\begin{matrix} V \ar[r]^{T^\mathrm{ad}} \ar[d]^\cong & U \ar[d]^\cong \\ V^\ast \ar[r]^{T^\ast} & U^\ast \end{matrix}\)

换句话说$(x,Ty)=(T^{\mathrm{ad}}x,y)$。据此$(T^{\mathrm{ad}})^{\mathrm{ad}}=T$并且$(Tx,y)=(x,T^{ad}y)$。

命题

分别固定$U,V$的正交基，以及相对应的$U^\ast,V^\ast$的对偶基。 令$A$为$T$对应的矩阵。那么$T^{\mathrm{ad}}$对应的矩阵为$A^t$。

命题

$\ker T^\mathrm{ad} = (\mathrm{Im} T)^\perp$

证明

$x \in \ker T^\mathrm{ad}\Leftrightarrow T^\mathrm{ad} x = 0 \Leftrightarrow (T^\mathrm{ad} x,y)=0 ,\forall y\in V\Leftrightarrow (x, T y)=0 ,\forall y\in V\Leftrightarrow x\in (\mathrm{Im} T)^\perp$

4.2 正交算子和酉算子

定义 [正交算子和酉算子]

令$V$为欧氏空间或者厄尔米特空间。如果$(T(x),T(y))=(x,y)$对所有$x,y\in V$成立那么线性变换$T:V\rightarrow V$是正交的或者酉的。

对正交算子或者酉算子，都有$(x,y)=(Tx,Ty)=(x,T^\mathrm{ad} T(y))=(T^\mathrm{ad} T(x),y)$。因此$T^\mathrm{ad} T=T T^\mathrm{ad} =\mathrm{id}$

定义 [正交算子和酉算子对应矩阵]

如果$A^tA=AA^t=I$/$A^\ast A=A A^\ast=I$，那么实/复方阵$A$被称为正交矩阵/酉矩阵。

命题

固定欧氏/厄尔米特空间$V$的一组正交基。那么$V$上的线性算子是正交的/酉的当且仅当所对应矩阵是正交/酉的。

命题

令$A$为一个可逆实/复对称阵。那么存在上三角阵$P$，其对角元素大于零且$AP$是正交/酉的。

证明

对$A$进行Gram-Schmidt正交化，相当于右乘一个上三角阵。

命题

如下条件等价

(1) $T:V\rightarrow V$ 是正交的/酉的

(2) 对任意标准正交基${e_1,\cdots,e_n}$，${T(e_1),\cdots,T(e_n)}$也是一个标准正交基。

(3) 存在标准正交基${e_1,\cdots,c_n}$使得${T(e_1),\cdots,T(e_n)}$是标准正交基。

命题 [正交和酉矩阵特征值性质]

(1)令$V$为欧氏空间，$T$为$V$上的正交算子，$\lambda$是$T$的实特征值。那么$\lambda^2=1$。

(2)令$V$为厄尔米特空间，$T$是$V$上的酉算子，$\lambda$是$T$的特征值。那么$

\lambda

=1$。

命题

令$V$为欧氏空间/厄尔米特空间而$T$为正交算子。令${e_1,e_2}$为正交基。 那么存在$\theta$使得$T$是一个角度为$\theta$的旋转或关于$(\cos \frac{\theta}{2},\sin \frac{\theta}{2})$的反射。

以下的结论可以直接证明，但是使用谱定理非常方便。

命题

令$V$为欧氏空间，$T$是正交算子。 那么存在$V$的标准正交基使得$T$的矩阵是$\mathrm{diag}(I_r,-I_s,A_1,\cdots)$，其中$A_i$是$2\times2$的旋转矩阵。

推论

令$A$为酉矩阵。那么存在一个酉矩阵$P$使得$P^{-1}AP=P^\ast AP=\mathrm{diag}(e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{n}})$。

4.3 对称算子和厄尔米特算子

定义 [对称算子和厄尔米特算子]

令$V$为欧氏空间/厄尔米特空间。如果$T$满足$T=T^\mathrm{ad}$那么称其为对称的/厄尔米特的。即$(T(x),y)=(x,T(y))$。

定义 [对称矩阵和厄尔米特矩阵]

(1)对称$A^t=A$ (2)厄尔米特$\bar{A}^t=A$

命题

$T$是对称/厄尔米特当且仅当其所对应的矩阵是对称的/厄尔米特的。

命题

令$V$为厄尔米特空间而$T$是$V$上的厄尔米特算子。那么$T$的特征值全是实数。

以下明显是谱定理的一个推论。

定理

令$V$为欧氏空间（厄尔米特空间），并且令$T$为$V$上对称（厄尔米特）算子。 那么$V$有一个由$T$的特征值构成的标准正交基。

推论

令$A$为实对称(复厄尔米特)矩阵。 那么存在正交（酉）矩阵$P$使得$P^{-1}AP=\bar{P}^t AP$是对角阵。

命题

令$A$为实对称（复厄尔米特）矩阵。$A$的正/复惯性指数等于$A$的正/复特征值的数量。 此外，$A$是正定的当且仅当$A$的所有特征值实正数。

命题

令$V$为欧氏空间（厄尔米特空间），并且令$T$为$V$上对称（厄尔米特）算子。 令$\lambda\ne \mu$为$T$的特征值。那么$E_\lambda\perp E_\mu$。

证明

$(T x, y)=(x, T y)$，令$x\in E_\lambda,y\in E_\mu$, $(\lambda x,y)=(x, \mu y)\Rightarrow \lambda(x,y)=\mu (x,y) \Rightarrow (x,y)=0$

推论

（同时对角化）。假设$A$是正定对称实矩阵/厄尔米特矩阵，$B$是对称实矩阵/厄尔米特矩阵。 然后有一个实/复矩阵$P$，使$\bar{P}^t AP = I$和$\bar{P}^t BP$是对角阵。

证明

定理

$A$为可逆厄尔米特，$B$为厄尔米特。 那么存在可逆$P$，使得$\bar{P}^t A P \& \bar{P}^t B P$ 为对角阵 等价于$A^{-1}B$可对角化$\&$所有特征值为实数。

4.4 正规算子

正规算子非常重要，因为一方面对称算子和正交算子都是特殊的正规算子；另一方面，只要满足正规这个条件，我们就能得出非常强的结论。所以我们可以认为正规这个条件是本质的。

定义

如果$T^{\mathrm{ad}}\circ T=T\circ T^\mathrm{ad}$线性算子$T$称为正规线性算子。 如果$\bar{A}^t A=A \bar{A}^t$则实/复方阵$A$称为正规。

那么$(T x,T y)=(T^\mathrm{ad} T x,y)=(T T^\mathrm{ad} x,y)=(T^\mathrm{ad} x, T^\mathrm{ad} y)$。

引理

算子$T$正规当且仅当$\forall v\in V ,\Vert T v\Vert=\Vert T^\mathrm{ad} v \Vert$

命题

如果$T$正规而且$W\subset V$是$T$不变的， 那么

1. $W^\perp$是$T$不变的。
2. $W$在$T^{\mathrm{ad}}$下不变。

证明

\[T =\left( \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & C \end{array} \right)\]

since $T^t T = T^t T$

\[\Longrightarrow B B^t = 0 \Longrightarrow B = 0\]

定理 [实谱定理(spectral theorem)]

令$V$为欧氏空间，$T$正规线性算子。 那么存在$V$的一组正交基使得$T$的矩阵是$\mathrm{diag} (a_1,\cdots,a_r,A_1,\cdots)$， 其中$A_i$为形为 \(\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right]\) 的矩阵。

定理 [复谱定理(spectral theorem)]

令$V$为厄尔米特空间而$T$正规算子。 那么存在$V$的一组正交基使得$T$对应的矩阵是对角阵。

命题

如果$T$正规，则$\ker T = \ker T^\mathrm{ad}$,$\mathrm{Im} T = \mathrm{Im} T^\mathrm{ad}$。 而且$V=\ker T \oplus \mathrm{Im} T$。

证明

\[T x=0\Leftrightarrow (T x,T x)=0 \Leftrightarrow (T^\mathrm{ad} x,T^\mathrm{ad} x)=0 \Leftrightarrow T^\mathrm{ad} x = 0\]

命题

算子$T$正规$\Leftrightarrow$ $T$的任意复特征向量都是$T^\mathrm{ad}$的特征向量。

证明

因为$T$是正规的，容易得到$T-\lambda I$是正规的。 \(0=\Vert (T -\lambda I) x\Vert=\Vert (T^\mathrm{ad} -\bar{\lambda} I) x\Vert\)

命题

$A$是实/复正规矩阵。那么$\bar{A}^t$可以写成$A$的实/复多项式。

证明

命题

A =

推论

$A,B$正规， $AB=BA$， 那么$\bar{A}^t B = B \bar{A}^t \& A\bar{B}^t=\bar{B}^t A$ $\Longrightarrow$ $AB$正规的。

$A$ is normal if and only if $A^t= AU$ for some unitary matrix $U$.

4.5 一般算子

命题

命题

算子$T:V\rightarrow V$，$V$厄尔米特$\Rightarrow$ $\exists$ 标准正交基使得$T$可以被上三角阵表示。

4.6 其他

定义 [Gram方阵]

\[\left[ \begin{matrix} \langle \alpha_1,\alpha_1 \rangle & \cdots & \langle \alpha_1,\alpha_m \rangle \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \langle \alpha_m,\alpha_1 \rangle & \cdots & \langle \alpha_m,\alpha_m \rangle \\ \end{matrix} \right]\]

命题

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