Topology 紧性
本文档深入探讨拓扑学中最重要的概念之一——紧性。紧性是有限维空间的本质特征，通过”有限子覆盖”性质抽象出”有限性”概念。我们建立紧性与列紧性的关系，证明Heine-Borel定理、Tychonoff定理等核心结果。在度量空间中，紧性与列紧性等价，这引出Lebesgue数引理。最后介绍局部紧性、单点紧化和紧-开拓扑，为后续的调和分析和泛函分析奠定基础。
前置知识：拓扑空间基础、实数理论 核心思想：紧性是”有限性”的拓扑抽象，保证了连续函数的最值存在、序列收敛性质和空间的可度量化
紧性
紧性
定义 [开覆盖]
拓扑空间$X$的一个开覆盖是一个开子集的集族 $\mathcal{U}=\{U_\alpha\}_{\alpha\in S}$ 使得$X=\bigcup_{\alpha\in S}U_\alpha$。 $\mathcal{U}$的一个子覆盖是子族$\mathcal{U}’\subset\mathcal{U}$仍然覆盖$X$。
定义 [紧]
- 如果$X$的开覆盖都有一个有限子覆盖那么称拓扑空间$X$是紧的。
- 若拓扑空间的子集$A$在子空间拓扑下是紧的，则称$A$是紧的。
注
紧性带给我们一种”有限性”的感觉。 具体点，$\mathbb{R}$不是紧的，但是$\mathbb{R}$是局部紧的。
定理 [紧空间最值存在]
假设$X$是紧集。那么任意连续映射$f:X\rightarrow\mathbb{R}$都有最大最小值。
定理
假设$X$是紧集并且第一可数。那么任意序列$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$都有收敛子列$(x_{n_i})_{i\in \mathbb{N}}$。
定理
$\mathbb{R}^n$的子集$A$是紧集当且仅当$A$是有界闭集。
定理 [Heine Borel]
闭区间$[a,b]$是紧集。
命题
令$f:X\rightarrow Y$连续映射。$A$为$X$的紧子集。则$f(A)$紧。
推论
令$f:X\rightarrow Y$连续满射。假设$X$紧，则$Y$紧。
引理 [管引理 (Tube lemma)]
考虑积空间$X\times Y$，其中$Y$紧，若$N$紧且$\{x_0\}\times Y\subset N\subset X\times Y$，则$\exists U\subset X$为$x_0$的邻域使得$U\times Y\subset N$。
定理
积空间$X_1\times X_2$紧当且仅当$X_1,X_2$均紧。
推论
对任意$n\in\mathbb{N}^{>0}$，空间$[a,b]^n$紧。
定理 [Tychonoff]
任何紧空间族的乘积就积拓扑而言都是紧的。
命题
紧空间的闭子集是紧的。
引理
$A$为Hausdorff空间$X$的紧子集，$x\in X\backslash A$。则存在$A$的邻域$U$及$x$的邻域$U’$使得$U\cap U’=\emptyset$。
证明：由$X$为Hausdorff空间，对任意$y\in A$，存在$U_y$为$y$的邻域以及$V_y$为$x$的邻域使得$U_y\cap V_y=\emptyset$。则$\{U_y\}_{y’\in A}$覆盖$A$。因为$A$为紧集，可以找出有限子集$\{U_{y_1},\ldots,U_{y_n}\}$仍然覆盖$A$。那么$U=U_{y_1}\cup\cdots\cup U_{y_n}$而且$U’=V_{y_1}\cap\cdots\cap V_{y_n}$
命题
$A$为Hausdorff空间$X$的紧子集，则$A$为闭集。
证明：由引理对$x\in X\backslash A$。则存在$A$的邻域$U_x$及$x$的邻域$U’_x$使得$U_x\cap U_x’=\emptyset\Rightarrow U_x \cap A = \emptyset$。
所以$X\backslash A = \cup_{x\in X\backslash A} U_x$为开集。则$A$为开集。
推论
令$f:X\rightarrow Y$为连续映射，$X$是紧空间，$Y$是Hausdorff空间。则$f$是闭映射。
推论
令$f:X\rightarrow Y$为连续单射。$X$是紧空间，$Y$是Hausdorff空间。则$f$为嵌入。
定理 [连续双射是拓扑同胚（一定条件）]
假设$X$是紧集并且$Y$是Hausdorff。那么任意连续双射$f:X\rightarrow Y$都是拓扑同胚。
证明：由推论，
习题
若$Y$为紧集，则投影映射$\pi_1:X\times Y\rightarrow X$是闭映射。
列紧性
定义 [列紧 (sequential compactness)]
若空间$X$中每个序列都有收敛子列则其称为列紧。
定理
对第一可数空间，若紧则列紧。
定理
对度量空间，紧等价于列紧。
定义 [直径]
令$A$为度量空间$(X,d)$的子集。$A$的直径定义为$\mathrm{diam} (A):=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}$。若上确界不存在则记$\mathrm{diam}(A)=\infty$。
定义 [勒贝格数]
令$\mathcal{U}$为测度空间$(X,d)$的开覆盖。若对任意子集$A$使得$\mathrm{diam}(A)<\delta$，都有$A\subset U$对某些$U\subset \mathcal{U}$，则称$\delta>0$为勒贝格数。
引理 [勒贝格数的存在性]
对任意列紧测度空间$X$的开覆盖都有一正勒贝格数。
定义 [$\delta$-网]
对$\delta>0$，度量空间$X$的子集$A$，若$\{B_\delta (x)\}_{x\in A}$覆盖$X$，则称为$\delta$-网。
引理
假设$X$是列紧的度量空间。则$\forall \varepsilon>0$,$X$有一个有限$\varepsilon$-网。
引理 [Lebesgue number lemma]
假设$X$为列紧度量空间。任何$X$的开覆盖都有一正勒贝格数。
局部紧性
定义
若对任意$x\in X$存在$K \subset X$紧，使得$x\in \mathring{K}$，则$X$是局部紧的。
定义 [拓扑流形 (topological manifold)]
如果对任意$x\in X$，存在$x$的邻域同胚于$\mathbb{R}^n$对某个$n$，则Hausdorff空间$X$称为拓扑流形。
注
任意流形都是局部紧的。
引理
令$X$为局部紧的Hausdorrff空间。则对任意$x\in X$及$U$为$x$的邻域，存在紧集$K\subset U$使得$x\in \mathring{K}$。
定义 [proper]
如果任何紧子集 $A$ 的原像 $f^{-1}(A)$ 也是紧的，我们就说连续映射 $f : X \rightarrow Y$ 是proper的。
注意到在前已经证明的定理只用到了局部的条件，所以可以把条件按照如下弱化。
推论
令$f:X\rightarrow Y$为连续映射。$f$为proper映射，$Y$是局部紧的Hausdorff空间。则$f$是闭映射。
推论
令$f:X\rightarrow Y$为连续单射，且为proper映射。$Y$是局部紧的Hausdorff空间。则$f$为嵌入。
定义 [单点紧化]
设 $X$ 是一个Hausdorff空间，局部紧但不紧。$X$ 的单点紧化定义为 $X^+ := X \cup \{\infty\}$。 $X^+$ 上的拓扑定义如下： 设 $U$ 是 $X^+$ 的子集。当且仅当 $X^+$ （或 $U$）紧时，U 是开的。假设 $\infty \notin U$，那么当且仅当 $U$ 在 $X$ 中是开的，$U$ 才是开的。
定义 [pointwise convergence topology]
给定拓扑空间 $X, Y$，我们令 $\mathcal{C}(X, Y)$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射的集合。我们想要在 $\mathcal{C}(X, Y)$ 上定义一个合适的拓扑。因为 $\mathcal{C}(X, Y)$ 是 $Y^X$ 的子集，我们可以使用 $Y^X$ 的子空间拓扑。这被称为点态收敛拓扑。然而，因为乘积拓扑没有考虑到域 $X$ 的拓扑，这个点态收敛拓扑对于代数拓扑并不合适（我们很快会讨论）。所以我们将在 $\mathcal{C}(X, Y)$ 上定义另一个拓扑如下：设 $K$ 是 $X$ 的紧子集，$U$ 是 $Y$ 的开子集，我们定义如下子集 \(S(K, U):=\{f \in \mathcal{C}(X, Y) \mid f(K) \subset U\} .\)
考虑如下子集族 \(\mathcal{B}:=\left\{S \left( K_1, U_1 \right) \cap \cdots \cap S \left( K_n, U_n \right) \mid K_i \text { 是紧的且 } U_i \text { 是开的 } \right\} .\)
很明显，$\mathcal{B}$ 是某个拓扑的基。我们称由 $\mathcal{B}$ 生成的拓扑为 $\mathcal{C}(X, Y)$ 上的紧-开拓扑。
定义 [Compact open topology]
Given topological spaces $X, Y$, we let $\mathcal{C}(X, Y)$ be the set of continuous maps from $X$ to $Y$. We want a suitable topology on $\mathcal{C}(X, Y)$. Since $\mathcal{C}(X, Y)$ is a subset of $Y^X$ (the set of all maps), we can use the subspace topology of the product topology on $Y^X$. This is called the pointwise convergence topology (See exercise D for an explanation for this name.). However, because the product topology doesn’t take the topology of the domain X into account, this pointwise convergence topology is not suitable to for algebraic topology (as we will discuss soon). So we will define another topology on $\mathcal{C}(X, Y)$ as follows: Let $K$ a compact subset of $X$ and let $U$ an open subsets of $Y$, we define the following subset \(S(K, U):= \{f \in \mathcal{C}(X, Y) \mid f(K) \subset U \} .\)
Consider the following collection of subsets of $\mathfrak{C}(X, Y)$ \(\mathcal{B}:=\left\{S\left(K_1, U_1\right) \cap \cdots \cap S\left(K_n, U_n\right) \mid K_i \text { is compact and } U_i \text { is open }\right\} .\)
Clearly, $\mathcal{B}$ a basis for some topology. We call the topology generated by $\mathcal{B}$ the compact-open topology on $\mathcal{C}(X, Y)$.
- Show that when $X$ is space with discrete topology, the compact-open topology on $\mathcal{C}(X, Y)$ is the same as the pointwise convergence topology.
- We have an evaluation map \(\text { ev }: X \times \mathcal{C}(X, Y) \rightarrow Y\) defined by \(\operatorname{ev}(x, f):=f(x) .\)
Suppose we use the compact-open topology on $\mathcal{C}(X, Y)$. And suppose $X$ is locally compact and Hausdorff. Show that ev is continuous.
- Given any topological spaces $X, Y, Z$ and any map $f: X \times Y \rightarrow Z$, we have an induced map $\widetilde{f}: X \rightarrow Z^Y$ defined by $\widetilde{f}(x)=f(x,-) \in Z^Y$.
Suppose $Y$ is locally compact and Hausdorff. Show that $f$ is continuous if and only if both of the following conditions hold:
- The map $f(x,-)$ is continuous for any $x$. So $\tilde{f}$ is actually a map from $X$ to $\mathcal{C}(Y, Z)$.
- The map $\tilde{f}: X \rightarrow \mathcal{C}(Y, Z)$ is continuous. Here we use the compact-open topology on $\mathrm{C}(Y, Z)$.
So we have a bijection $\varphi: \mathcal{C}(X \times Y, Z) \rightarrow \mathcal{C}(X, \mathcal{C}(Y, Z))$ defined by $\varphi(f):=\tilde{f}$.
- Suppose both $X, Y$ are locally compact Hausdorff. Show that $\varphi$ is a homeomorphism. Here we are using the compact-open topology on all three function spaces。
下一节：连通性