Topology 连通性

本文档研究拓扑空间的连通性质，这是空间的另一个核心特征。连通性衡量空间是否”断开”，给出连通空间的多种等价刻画。引入连通分量和道路分量的概念，建立道路连通与连通的关系。在实数集上，连通集恰为区间，这展示了拓扑学与经典分析的深刻联系。最后给出Jordan曲线定理，展示简单概念如何导出深刻的几何结果。

前置知识：拓扑空间基础、连续映射 核心思想：连通性刻画空间的”整体性”，是拓扑不变量，用于区分不同拓扑空间的本质特征

连通性

连通性

定义 [连通空间]

一空间连通当且仅当其不为二非空不交集合的拓扑同胚。

引理 [连通空间的判定]

引理：$X$为拓扑空间，如下等价

  1. $X$连通。
  2. $X$无分解$X=A\cup B$，$A,B$为开集
  3. $X$无分解$X=A\cup B$，$A,B$为闭集
  4. $X$无分解$X=A\cup B$，$A\cap \overline{B}=\overline{A} \cap B=\emptyset$
  5. $\emptyset,X$为$X$的唯二既开又闭的集合。
  6. $X\rightarrow \{0,1\}$的所有映射均为恒等映射。（对$\{0,1\}$使用离散拓扑）

引理

  1. (连续映射的像) 令$f:X\rightarrow Y$为连续映射。假设$A\subset X$连通。则$f(A)$连通。
  2. (稠密子集连通) 假设$A$在$X$中稠密，且$A$连通，那么$X$连通。
  3. 假定$A,B\subset X$，假设$A$连通且$A\subset B\subset \overline{A}$。则$B$连通。

引理

令$\{A_\alpha\}_{\alpha\in S}$为$X$的子空间的集合。令$A=\bigcup_{\alpha\in S}A_\alpha$，假设如下条件成立：

  1. 对任意$\alpha\in S$都有$A_\alpha$连通。
  2. 对任意$\alpha,\alpha’$存在有限序列$\alpha = \alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n=\alpha’\in S$使得$A_{\alpha_i}\cap A_{\alpha_{i+1}}\ne \emptyset$对任意$0\le i \le n-1$。

则$A$连通。

命题 [积空间的连通性]

$\prod_{\alpha\in S}S_\alpha$ 利用积拓扑连通当且仅当对任意$\alpha\in S$都有$X_\alpha$连通。

命题 [$\mathbb{R}$上的连通空间]

令$A$为$\mathbb{R}$的子集，则$A$连通当且仅当$A$为一区间。

定义 [连通分量]

利用连通性我们自然定义一等价关系，若$a,b$连通（存在一个子空间$A$连通，且$A$包含$a,b$）则$a\sim b$。 该等价关系的等价类称为连通分量。

命题

令$\{X_\alpha\}_{\alpha\in S}$为空间$X$的连通分量。则如下结论成立

  1. 令$A$为$X$的连通子空间，那么存在$\alpha\in S$使得$A\subset X_\alpha$
  2. 所有$X_\alpha$均连通
  3. 所有$X_\alpha$在$X$中为闭集
  4. 若$X$连通当且仅当其只有一个连通分量。

道路连通

定义 [道路]

令$X$为拓扑空间。令$x,y$为$X$中两点。

  1. 在$X$中，一从$x$至$y$的道路定义为连续映射$\gamma:[0,1]\rightarrow X$其中$\gamma(0)=x,\gamma(1)=y$
  2. $\gamma(0)\in X$称为$\gamma$的starting point.
  3. $\gamma(1)\in Y$称为$\gamma$的final point.
  4. $\gamma(0),\gamma(1)$都称为$\gamma$的end point
  5. $\gamma$ closed 若$\gamma(0)=\gamma(1)$
  6. $\gamma(0)=\gamma(1)=x$则称为loop based at $x$

定义 [道路连通]

令$X$为拓扑空间。若对任意$a,b\in X$，存在连续映射$\gamma:[0,1]\rightarrow X$使得$\gamma(0)=a,\gamma(1)=b$，则称$X$道路连通。

命题

道路连通空间连通。

定义 [道路分量]

利用道路连通性我们自然定义一等价关系，若$a,b$道路连通（存在一条道路$\gamma$，starting point为a, ending point 为 b）则$a\sim_p b$。 道路分量定义为这个等价关系的等价类。

Jordan定理

定义 [Jordan Curve]

一Jordan Curve是$\mathbb{R}^2$中的一条闭曲线，且其不自交。

定理 [Jordan Curve Theorem]

一Jordan Curve将平面分为两个道路分量。其中之一有限，另一个无限。

下一节：商空间和商映射

Written on January 5, 2026