Topology 商空间

本文档介绍商空间这一重要的拓扑构造方法。通过等价关系将空间”粘合”得到新的拓扑空间，商拓扑是使得商映射连续的最细拓扑。我们研究商映射的性质、商映射的复合以及商映射与连续映射的关系。引入附着空间的概念，通过”粘合”映射构造新空间。最后给出Möbius带、Klein瓶、实射影空间等经典例子，展示商空间在构造特殊拓扑空间中的强大作用。

前置知识：拓扑空间、等价关系、连续映射 核心思想：通过商空间实现拓扑空间的”粘合”和”折叠”，是构造流形、射影空间等重要对象的基本工具

商空间

商空间

定义 [商拓扑]

令$X$为拓扑空间，$Y$为集合。给定满射$\pi:X\rightarrow Y$。定义由$\pi$导出的$Y$上的商拓扑为： 若$U\subset Y$为开集当且仅当$\pi^{-1}(U)$为开集。

定义 [二元关系]

令$X$为集合，$R\subset X\times X$。$(x,y)\in R$记作$x\sim y$称为二元关系。

定义 [等价关系]

令$X$为集合，$\subset X\times X$为二元关系。若$R$满足如下条件：

  1. 自反性：$\forall x\in X,x \sim x$
  2. 对称性：$\forall x,y\in X,x \sim y\implies y\sim x$
  3. 传递性：$\forall x,y,z\in X,x\sim y, y\sim z \implies x\sim z$

则称$R$为等价关系。

定义 [商集]

令$X$为集合，$R\subset X\times X$为等价关系。定义$X$的商集为$X/R:=\{[x]:x\in X\}$，其中$[x]:=\{y\in X:(x,y)\in R\}$。

定义 [商空间]

令$X$为拓扑空间，$\sim$为等价关系。定义$X$的商空间为$X/\sim$，其中$X/\sim$的拓扑为由映射$\pi:X\rightarrow X/\sim$导出的商拓扑。

例 [Mobius带]

Mobius带是$\mathbb{R}^2$的商空间，等价关系为$(x,y)\sim (x’,y’)$当且仅当$(x’,y’)=(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)$对某个$\theta\in [0,2\pi)$。

定义 [带边流形]

令$X$为Hausdorff空间。 称$X$为n维带边流形，若对任意$x\in X$，如下两个条件之一成立：

  1. 存在$x$的邻域$U$同胚于$\mathbb{R}^n$
  2. 存在$x$的邻域$U$同胚于$[0,\infty)\times \mathbb{R}^{n-1}$

我们称$x$为内点如果(i)成立，称$x$为边界点如果(ii)成立。 用$\mathring{X}$表示$X$的内点集，$\partial X$表示$X$的边界点集。称$\mathring{X}$为$X$的内部，$\partial X$为$X$的边界。 无边界的紧流形称为闭流形。二维流形称为曲面。

例 [Klein瓶 (Klein bottle)]

Klein瓶是$\mathbb{R}^3$的商空间，等价关系为$(x,y,z)\sim (x’,y’,z’)$当且仅当$(x’,y’,z’)=(x+1,y,z)$或$(x’,y’,z’)=(x,y+1,z)$或$(x’,y’,z’)=(x+1,y+1,-z)$。

例 [实射影空间 (real projection space)]

  1. 考虑在$X=S^n$上的等价关系$\sim$，其中$x\sim -x$。则$X/\sim$为实射影空间$\mathbb{RP}^n$。
  2. $\sim:x\sim -x,\forall x\in \partial D^n$, 则$D^n / \sim \cong \mathbb{RP}^n$.

商映射

定义 [商映射]

令$p:X\rightarrow Y$为拓扑空间之间的映射。若$p$满足如下条件：

  1. $p$为满射，$p$连续
  2. 对任意$V\subset Y$，$p^{-1}(V)$为开集$\implies$ $V$为开集。

则称$p$为商映射。

引理

商映射满足如下性质：

  1. 如果一连续满射既是开映射又是闭映射，则为商映射。
  2. 一映射为单射商映射当且仅当其为同胚。
  3. 商映射的复合仍然为商映射。
  4. $p: X\rightarrow Y$为商映射当且仅当$Y$上的拓扑正好是$p$导出的商拓扑。

引理

令$p:X\rightarrow Y$为连续满射。$X$为紧空间，$Y$为Hausdorff空间。则$p$为商映射。

证明：由推论，$p$为闭映射。

引理

令$f:X\rightarrow Y$为商映射，$B$为$Y$的子空间，令$A=f^{-1}(B)$。考虑映射 \(f_A:A\rightarrow B \text{ 定义为 } f_A(x)=f(x)\) 如果$B$为开集或者闭集，那么$f_A$为商映射。

命题

令$X,Y,Z$为拓扑空间，$p:X\rightarrow Y$为商映射，$f:Y\rightarrow Z$为映射。则

  1. $f$连续当且仅当$f\circ p$连续。
  2. $f$为商映射当且仅当$f\circ p$为商映射。

推论

令$\sim$为$X$上的等价关系并且$f:X\rightarrow Z$为连续映射。假设对任意$x\sim x’$有$f(x)=f(x’)$。存在唯一的映射$\bar{f}:X/\sim\rightarrow Z$使得如下交换图成立：

其中$\pi:X\rightarrow X/\sim$为商映射。

推论

令$f:X\rightarrow Y$为商映射。定义一个等价关系$\sim$为$x\sim x’$当且仅当$f(x)=f(x’)$。则$X/\sim$与$Y$同胚。

附着空间

定义 [附着空间]

考虑拓扑空间$A$和其子空间$B$。我们称$(A,B)$为一空间对。给定这样一对$(A,B)$和连续映射$f:B\rightarrow X$。我们考虑如下在$X\sqcup A$上由 \(x\sim f(x) \text{ 对任意} x\in B\) 生成的等价关系： 我们记商空间$X\sqcup A/\sim$为$X\cup_f A$。 我们称$X\cup_f A$为由$X$和$A$沿子空间$B$通过附着映射$f$粘接而成的空间。

下一节：拓扑群与群作用

Written on January 5, 2026