Topology 覆叠空间
本文档深入研究覆叠空间理论，这是连接拓扑空间与基本群的重要桥梁。覆叠映射是局部同胚的满射，具有唯一的同伦提升性质。通过覆叠空间，我们可以计算基本群、研究万有覆叠空间和群作用。经典例子包括$\mathbb{R}\to S^1$的指数映射和$S^1\to S^1$的幂映射。我们利用覆叠空间理论计算$S^1$的基本群，引入卷绕数概念。最后讨论基本群的函子性质和同伦不变性，证明形变收缩的基本群同构。
前置知识：基本群、同伦理论、商空间 核心思想：覆叠空间将复杂空间的拓扑性质”展开”到简单空间上，通过提升映射研究基本群结构
覆叠空间，圈的基本群及其应用
覆叠空间
定义 [覆叠映射 (covering map)]
令$f:\tilde{X}\to X$为连续映射。 称$f$为覆叠映射若满足如下两个条件
- $f$ 为满射。
- 对任意$x\in X$都有一个邻域满足如下条件：存在分解$f^{-1}(U)=\bigcup U_\alpha$为$\tilde{X}$的开集使得对任意$\alpha$，限制映射$f|{U\alpha}:U_\alpha\to U$ 为同胚。（这样的$U$称为被均匀覆盖的开集）
称$(\tilde{X},f)$为$X$的一个覆叠空间。
例 [平凡覆叠映射 (trivial covering map)]
令$S$为离散空间。则投影映射$\mathrm{pr}_1:X\times S\to X$为覆叠映射。$X$本身被均匀覆盖。称为平凡覆叠映射。
例
考虑映射 \(\pi:\mathbb{R}\to S^1,x\mapsto e^{2\pi i x}\) 此为一个覆叠映射。（验证：令$x_0\in \mathbb{R},U=S^1\backslash\{e^{2\pi i x_0}\}$）
例
类似的考虑 \(\pi_n:S^1\to S^1,z\mapsto z^n\) 这是覆叠映射。
定义 [覆叠空间作用]
令$\rho:G\times \tilde{X}\to \tilde{X}$为离散群到 Hausdorff 空间$\tilde{X}$的映射。称$\rho$为覆叠空间作用$\iff$对任意$x\in \tilde{X}$，存在其邻域$V$满足 \(V\cap g V=\emptyset,\forall g\ne e\in G.\) 注意到 覆叠空间作用 $\implies$ 自由作用。 而且对于有限群这两个定义等价。
命题
考虑群作用$\rho:G\times \tilde{X}\to \tilde{X}$。令$q:\tilde{X}\to \tilde{X}/G$ 为到其轨道空间的商映射。
- 若 $rho$ 为覆叠空间作用，则$q$为覆叠映射。
定义 [提升 (lift)]
令$f:Y\to X$ 而$g:Z\to X$ 为二连续映射。 称$\tilde{f}:Y\to Z$为$f$的一个提升若他满足如下交换图成立
定理 [Unique homotopy lifting property]
令$p:\tilde{X}\to X$为覆叠映射。 令$H:I\times Y\to X$为同伦。 令$\tilde{f}:Y\to \tilde{X}$为$H(0,-):Y\to X$的提升。则存在唯一$\tilde{H}:I\times Y\to X$为$\tilde{f}$的同伦并且为$H$的提升。
换句话说，如下交换图成立
这里$\mathrm{in}_0:Y\to I \times Y$定义为$\mathrm{in}_0(y)=(0,y)$
证明：
Step 1. Unique homotopy lifting property (UHLP) 对平凡覆叠映射$p:X\times S\to X$成立。 记$\tilde{f}=(f_0,g_0):Y\to X\times S$。于是定义$\tilde{H}:I\times Y \to X\times S$为$(t,y)\mapsto(H(t,y),g_0(y))$
Step 2. 若对某些被均匀覆盖的$U$，$H(I\times Y)\subset U$, 则 UHLP成立。 令$p^{-1}(U)=\bigcup_{\alpha\in S}U_\alpha$。赋给$S$离散拓扑。则如下交换图成立
故覆叠映射$p|_{p^{-1}(U)}$为平凡覆叠映射。
Step 3. 对任意$y\in Y$，可以找到$y$的邻域$V$使得$\tilde{H}$在$I\times V$上存在。
因为$p$是覆叠映射，对所有$x\in X$找到的被均匀覆盖的$U$组成了一个$X$的开覆盖。将$I\times\{y\}$分成$\bigcup_{1\le m\le N}I_m \times \{y\}$，其中$I_m=[\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$。
取$N$足够大（勒贝格数）使得每个$I_m\times \{y\}$都包含在某个$H^{-1}(U_m)$中，其中$U_m$为可被均匀覆盖的开集。
由管状引理知，存在$y$的邻域$V_m$使得$I_m\times V_m\subset H^{-1}(U)$。那么$H(I_m\times V_m)$包含在$U_m$中。
令$V=\cap_{1\le m\le N}V_m$。则$H(I\times V)\subset U_m,\forall m$。由Step 2.，存在$\tilde{H_1}:I_1\times V\to \tilde{X}$提升$H|_{I_1\times V}$并满足 \(\tilde{H}_1 (0,-)=\tilde{f}\|_V\)
由Step 2.，存在$\tilde{H_2}:I_2\times V\to \tilde{X}$提升$H|_{I_2\times V}$并满足 \(\tilde{H}_2 (\frac{1}{m},-)=\tilde{H}_1(\frac{1}{m},-)\)
同样对任意$m$可以定义$\tilde{H}_m$。将它们都粘起来得到$\tilde{H}:I\times V\to Y$。
Step 4. 假设$Y$为单点集$\{*\}$，对任意两个满足交换图的映射，它们必须相等。
Step 5. 对一般的$Y$，对任意两个满足交换图的映射，它们必须相等。
Step 6. 对一般的$Y$，$\tilde{H}$成立。 由 Step 3. 对任意$y\in Y$，可以找到邻域$V_y$使得存在$\tilde{H}_y:I\times V_y\to \tilde{X}$可以满足交换图。由 Step 5.，有 \(\tilde{H}_y\|_{I\times(V_y\cap V_y')}=\tilde{H}_{y'}\|_{I\times (V_y\cap V_{y'})}\) 所以使用 gluing lemma 可以得到 $\tilde{H}$。
推论
令$p:\tilde{X} \to X$为覆叠映射。取$a\in X,\tilde{a}\in p^{-1}(a)$。我们有如下结论。
- 对任意$\gamma:I\to X,\gamma(0)=a$，存在唯一提升$\tilde{\gamma}:I\to \tilde{X}$使得$\tilde{\gamma}(0)=\tilde{a}$。
- $\gamma\simeq \gamma’\implies \tilde{\gamma}\simeq \tilde{\gamma}’\implies \tilde{\gamma}(1)=\tilde{\gamma}’(1)$
$S^1$的基本群
\[\pi:\mathbb{R}\to S^1,x\mapsto e^{2\pi ix}\]定义 [卷绕数 (winding number)]
定义卷绕数为 \(w(\gamma):=\tilde{\gamma}(1)-\tilde{\gamma}(0)\) 需要验证这个性质是良定义的。
定理
\[\rho:\pi_1(S^1)\to \mathbb{Z},\gamma\mapsto w(\gamma)\]基本群的性质
问题
$\pi_1(X,b)$和$\pi_1(X,b’)$之间的关系是什么？它们同构吗？
命题
任意从$b’$到$b$的路径$[\gamma]$的的同伦类导出一个同构$[\gamma]^\#:\pi_1(X,b)\to \pi_1(X,b’)$。特别的，对在同一连通分支中的不同的基点的选择，给出同构的基本群。
基本群如此有用是因为他们是”函子”。意思为如下：
- 任意连续映射$f:X\to Y$导出一个基本群之间的群同态$f_*:\pi_1(X,b)\to \pi_1(Y,f(b))$，由 \(f_*([\alpha])=[f\circ \alpha]\) 定义。其中$\alpha:I\to X$为$X$中基于$b$点的圈。
- 若$f=\mathrm{Id}_X$，则$f_* = \mathrm{Id}_{\pi_1(X,b)}$
- $(f\circ g)_\ast = f_\ast \circ g_\ast$
命题 [$f\simeq g\implies f_* = g_*$ (almost)]
令$H:I\times X\to Y$为$f$到$g$的同伦。考虑从$f(b)$到$g(b)$的路径$\gamma=H(-,b):I\to Y$。则如下交换图成立：
推论 [同伦空间的基本群同构]
令$f:X \to Y$为一映射并且$b\in X$为一点。考虑导出映射$f_*:\pi_1(X,b)\to \pi(Y,f(b))$，则有：
- 若 $f$ 为同伦等价，则 $f_*$ 为同构。
- 若 $f$ 为零伦，则$f_* = 0$。
推论
令$A$为$X$的子空间，令$i:A\to X$为包含映射 (inclusion map)。取基点$b\in A$，考虑包含映射$i_\ast:\pi_1(A,b)\to \pi_1(X,b)$。则有
- 假设$A$为$X$的形变收缩 (deformation retract)。则$i_\ast$为同构。
- 假设$A$为$X$的收缩。则$i_\ast$有左逆。特别的$i_\ast$是双射。
定义 [单连通 (simply connected)]
空间$X$称为单连通的若$X$是道路连通并且$\pi_1(X)=0$。
推论
令$A$为$X$的收缩。则$X$单连通$\implies$ $A$单连通。