本文档介绍代数拓扑中最重要的计算工具之一——Seifert-Van Kampen定理。该定理将复杂空间的基本群分解为较简单空间基本群的自由积，并考虑交集部分的约束关系。我们首先建立积空间和一点并的基本群，然后引入群论中的自由积、正规闭包和群表示等概念。通过Seifert-Van Kampen定理，可以计算大量重要空间的基本群，包括环面、Klein瓶、楔形空间等。这个定理展示了如何通过”分而治之”的策略计算拓扑不变量。

前置知识：基本群、群论（自由积）、同伦理论 核心思想：将空间分解为简单部分，通过群论的自由积构造计算基本群，是计算代数拓扑的基本工具

Seifert-Van Kampen theorem

积的基本群

定理

\[\pi_1(\sqcap_{\alpha\in S}X_\alpha, (x_\alpha)) = \sqcap_{\alpha\in S}\pi_1(X_\alpha,x_\alpha).\]

证明：令 $\pi_\beta:\prod_{\alpha\in S}X_\alpha \to X_\beta$为投影映射。

由积空间的泛性质，有双射 \(\\{\text{loops in } \prod_{\alpha\in S} X_\alpha \text{ based at } (x_\alpha)\\} \leftrightarrow \prod_{\alpha\in S} \\{\text{loops in } X_\alpha \text{ based at } X_\alpha\\}\) 由$\gamma\leftrightarrow (\pi_\alpha\circ \gamma)_{\alpha\in S}$给出。

再由泛性质

例

$\pi_1(T^n)\cong \pi_1(S^1)\times \cdots \times \pi_1(S^1)\cong \mathbb{Z}^n$

定义 [一点并 (one point union)]

令$\{X_\alpha,x_\alpha\}_{\alpha\in S}$为带点空间的族。则它们的一点并定义为 \(\bigvee_{\alpha\in S}X_\alpha := (\sqcup_{\alpha\in S}X_\alpha)/\sim\) 其中$\sim$有$x_\alpha\sim x_\beta$对任意$\alpha,\beta$生成。而$\bigwedge_{\alpha\in S}X_\alpha$的基点取为$[x_\alpha]$

群的自由积

定义 [单词 (word)]

令$\{G_\alpha\}_{\alpha\in S}$为群的族。作如下定义：

1. $\{G_\alpha\}_{\alpha\in S}$的单词定义为有限序列$(g_1,\cdots,g_n)$使得$g_i\in \sqcup_{\alpha\in S}G_\alpha$对任意$i$均成立。其中$n$称为该单词的长度 (length)。

引理 [自由积的泛性质]

令$H$为群并令$\{f_\alpha:G_\alpha\to H\}_{\alpha\in S}$为群同态的族。则存在唯一的群同态 \(\ast_{\alpha\in S}f_\alpha:\ast_{\alpha\in S}G_\alpha\to H\) 使得如下交换图对任意$\beta\in S$成立

定义 [正规闭包]

令$A$为群$G$的子集。定义$A$在$G$中的正规闭包 (normal closure) $N_G(A)$ 为包含以下集合中有限个元素的积的子群 \(\\{e\\}\cup\\{gag^{-1}:g\in G,a\in A\\}\cup \\{g a^{-1}g^{-1}:g\in A,a\in A\\}\) 注意$N_G(A)$为所有包含$A$的$G$的正规子群的交。特别的，$N_G(A)$本身也是一个正规子群。

定义

给定集合$S$和自由群$F_S$的子集$R$，定义由关系$R$生成在$S$上的群为 (the group generated over $S$ with relation $R$) 一商群： \(\langle S\|R\rangle:=F_S/(N_{F_S}(R))\)

例 [(1)]

1. $\langle a,b|aba^{-1}b^{-1}\rangle\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$
2. $\langle a,b|a^2,b^2\rangle \cong \mathbb{Z}/2\ast \mathbb{Z}/2$
3. $\langle a,b| ab,aba\rangle\cong \{e\}$

定义 [表示 (presentation)]

群$G$的一个表示为一同构$G\cong\langle S|R\rangle$对某些$S$以及$R$。若$S,R$均有限，称其为有限表示。$G$的阶是$S$的最小大小使得$G\cong\langle S|R\rangle$。称$G$为有限生成若阶是有限的，称$G$为有限表示的若其有有限表示。

Seifert-Van Kampen 定理的证明

令$X$为拓扑空间，带有开覆盖$\bigcup_{\alpha\in S}A_\alpha$。假设$\bigcap_{\alpha\in S}A_\alpha\ne \emptyset$并且取一基点$x_0\in \bigcap_{\alpha\in S}A_\alpha$。对任意$\alpha,\beta\in S$，令 \(f_\alpha:\pi_1(A_\alpha,x_0)\to \pi_1(X,x_0)\) 为由$A_\alpha\hookrightarrow X$导出。 令 \(f_{\alpha,\beta}:\pi_1(A_\alpha\cap A_\beta,x_0)\to \pi_1(A_\alpha,x_0)\) 由$A_\alpha\cap A_\beta\hookrightarrow A_\alpha$导出。

引理

考虑集合 \(B=\bigcup_{\beta,\beta'\in S}\\{ f_{\beta,\beta'}(g)\cdot (f_{\beta',\beta}(g))^{-1}:g\in \pi_1(A_\beta\cap A_{\beta'},x_0)\\}\) 则$B\subset \ker(\ast_{\alpha\in S}f_\alpha)$

定理 (Seifert-Van Kampen)

给定开覆盖$X=\bigcup_{\alpha\in A} A_\alpha$ 其中$\bigcap_\alpha A_\alpha\ne \emptyset$ 选取$x_0\in \bigcap_\alpha A_\alpha$。则如下结论成立：

1. 假设$A_\alpha,A_\alpha\cap A_\beta$对任意$\alpha,\beta\in S$道路连通，则$\varphi$为满射。
2. 假设$A_\alpha,A_\alpha\cap A_\beta,A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma$对任意$\alpha,\beta,\gamma\in S$道路连通，则$\varphi$为同构。

Seifert-Van Kampen定理的应用

定义

称一个点$x\in X$是”nice”的，若存在一$x$的开邻域$U$形变收缩到$x$。

例

1. 所有流形上的点都是”nice”的。
2. Hawaiinn earring 中的原点不是 “nice” 的 \(X:=\bigcup_{n\in \mathbb{N}^+} \\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+(y-\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}\\}\)

命题 [Wedge]

令$\{(X_\alpha,x_\alpha)\}_{\alpha\in S}$为带点空间的族。假设 $x_\alpha$ 对所有$\alpha$都是 “nice” 的 则 \(\pi_1(\bigvee_{\alpha\in S} X_\alpha, [x_\alpha]) \cong \ast_{\alpha\in S} \pi_1(X_\alpha,x_\alpha)\)

例

1. \[\pi_1(\bigvee_n S^1) \cong F_n.\]

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