本文档是代数拓扑的核心内容之一。首先引入同伦概念，研究连续映射的连续形变，定义同伦等价、可缩空间、形变收缩等重要概念。然后建立基本群理论，将圈的集合赋予群结构，得到第一个重要的代数拓扑不变量。我们证明基本群是函子性的、同伦不变量，并给出基本群在同伦等价下的同构关系。基本群将几何问题转化为代数问题，是研究空间分类的强有力工具。

前置知识：拓扑空间、连续映射、群论基础 核心思想：通过代数结构（群）捕捉拓扑空间的本质特征，将空间的”洞”的数量和结构数量化

同伦和基本群

同伦

定义 [同伦]

设$f,g:X\to Y$是两个连续映射，如果存在一个连续映射$H:I\times X\to Y$，使得

• $\forall x\in X,H(0,x)=f(x)$，$H(1,x)=g(x)$，

则称$f$和$g$是同伦的 (homotopic)，记作$f\simeq g$。这样的$H$称为$f$和$g$之间的一个同伦 (homotopy)。

定义 [零伦]

$f$到恒等映射的同伦称为零伦 (null-homotopy)。 同伦到一个恒等映射的映射称为零伦的 (null-homotopic)。

定义 [相对于子集同伦]

令$A$为$X$的子集，二个映射$f,g:X\to Y$满足$f|_A = g|_A$。一个从$f$到$g$的相对于$A$同伦是一个映射$H:I\times X\to Y$满足

• $H(0,x)=f(x)$，$H(1,x)=g(x),\forall x\in X$，
• $H(t,a)=f(a)=g(a)$，$\forall a\in A,\forall t\in I$。

如果这样的同伦存在，我们称$f$和$g$相对于$A$同伦 (a homotopy from $f$ to $g$ relative to $A$)，记作$f\simeq g\text{ rel }A$。

例

1. 令$X=\{\}$为单点集，映射$f$完全由$f()$确定。从$f$到$g$的同伦即为路径$I\rightarrow Y$从$f()$到$g()$。
2. (线性同伦) 考虑二映射$f,g:X\rightarrow Y$。假设$Y$是$\mathbb{R}^n$的凸集，则我们总有同伦$H(t,x)=tf(x)+(1-t)g(x)$称为线性同伦 (Straight-line homotopy)。
3. 考虑二映射$f,g:X\rightarrow S^n$。假设$f(x)\ne -g(x)$对任意$x\in X$。则存在同伦$H(t,x)=\frac{tf(x)+(1-t)g(x)}{|tf(x)+(1-t)g(x)|}$。
4. 定义$f_n:S^1\rightarrow S^1,z\mapsto z^n$，则$f_n$是零伦当且仅当$n=0$。此外对任意$m\ne n$，都有$f_m \nsimeq f_n$。
5. 任意映射$f:S^k\rightarrow S^1,k>1$都是零伦的。
6. 任意映射$f:S^m\rightarrow S^n, m<n$都是零伦的。
7. Hopf映射 $h:S^3\rightarrow S^2$不是零伦的。

引理

1. 同伦是等价关系。$f$的等价类称为$f$的同伦类，记为$[f]$。
2. 给定$f,f’:X\rightarrow Y,g,g’:Y\rightarrow Z$，有$f\simeq f’,g\simeq g’ \implies (g\circ f)\simeq (g’ \circ f’)$

定义 [同伦等价]

称$X,Y$是同伦等价的 (homotopy equivalent)，如果存在$f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X$使得$g\circ f\simeq \mathrm{Id}_X$和$f\circ g\simeq \mathrm{Id}_Y$。此时称$f,g$为相互的同伦逆 (homotopy inverse)。

定义 [可缩的]

称$X$是可缩的 (contractible)，如果$X$同伦等价于单点的空间。

定义 [收缩，收缩核，形变收缩，形变收缩核]

令$A$为$X$的子集。

• 称连续映射$f:X\rightarrow A$为从$X$到$A$的收缩 (retraction)，如果$f|_A = \mathbb{1}$。
• 称$A$为$X$的一个收缩核 (retract)，如果存在一个从$X$到$A$的收缩。
• 从$X$到$A$的形变收缩 (strong deformation retraction) 是相对于$A$的同伦$F:I\times X\rightarrow X$，从$\mathrm{Id}_X$到像为$A$的映射。
• 称$A$为$X$的一个形变收缩核 (deformation retract) 若存在到$X$到$A$的形变收缩。

引理

假设$A$是$X$的形变收缩核。则内含映射$i_A:A\to X$是同伦等价。

例

如下条件显然等价

• $X$是可缩的。
• $\mathrm{Id}_X$是零伦。
• 任何连续映射 $f:X\to Y$ 是零伦。
• 任何连续映射 $g:Y\to X$ 是零伦。

定义 [带点拓扑空间 (Pointed space)]

一带点拓扑空间为一对$(X,x)$，其中$X$为拓扑空间而$x$为$X$中一个选定的点。

定义 [单点并 (wedge sum, one-point union)]

定义两个带点拓扑空间$(X,x),(Y,y)$的单点并为$X\wedge Y:=(X\sqcup Y)/(x\sim y)$

基本群

定义

称两条路径$\alpha,\beta:I\to X$使得$\alpha|_{\partial I}=\beta|_{\partial I}$为同伦若$\alpha \simeq \beta \quad \text{ rel } \partial I$。将$[\alpha]$记为$\alpha$的等价类。

我们有如下两种路径的操作。路径取逆$\bar{\gamma}$。以及路径的复合$\gamma\cdot\gamma’$其中$\gamma(1)=\gamma’(0)$

定义 [基本群]

$X$为拓扑空间吗，取$b\in X$为基点，考虑集合 \(S:=\\{\gamma:I\to X:\gamma(0)=\gamma(1)=b\\}/\text{homotopy}\) 以及映射 \(\overline{(-)}:S\to S, \text{定义为} [\gamma]\mapsto \overline{[\gamma]}\) 和映射 \(S\times S\to S\text{定义为}([\alpha],[\beta])\mapsto [a]\cdot [\beta]\) 如上所述的$S$在乘积映射$\cdot$和取逆映射$\overline{(-)}$之下形成一个群。记这个群为$\pi_1(X,b)$称为$X$基于$b$点的基本群。

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