本文档介绍两种从已知拓扑空间构造新空间的基本方法：积空间和无交并。积拓扑通过”有限条件”定义，使得映射连续性等价于各分量连续，具有良好的泛性质。积拓扑的收敛是逐点收敛，因此也称为点态收敛拓扑。无交并拓扑则提供了一种将空间”并”起来的自然方式。这两种构造是代数拓扑和泛函分析中的重要工具。

前置知识：拓扑空间基本概念、集合论 核心思想：通过笛卡尔积和无交并两种基本运算，从简单空间构造复杂空间，研究新拓扑与原拓扑的关系

积，无交并

定义 [X,Y的积拓扑]

令$X,Y$为拓扑空间。定义$X\times Y$的积拓扑为 \(\mathcal{T}_{X\times Y} = \\{U\times V:U\in \mathcal{T}_X,V\in \mathcal{T}_Y\\}\)

定义 [积拓扑]

在$\prod X_\alpha$上的积拓扑定义如下： 对每个$X_\alpha$取一个对应的基$\mathcal{B}_\alpha$。考虑如下子集族 \(\mathcal{B}:=\{\prod U_\alpha : U_\alpha \in \mathcal{B}_\alpha \text{ 对有限多 } \alpha\in S, \text{ 且 } U_\alpha=X_\alpha \text{ 对所有剩下的 } \alpha\in S\}\)

那么$\mathcal{B}$是生成积拓扑的基。带有积拓扑的集合$\prod X_\alpha$称为$\{X_\alpha\}$的积空间。

\[\mathcal{B}=\{ \prod U_\alpha:U_\alpha \text{ is open in }X_\alpha \text{ for all } \alpha\in S, U_\alpha=X_\alpha \text{ for all but finitely many } \alpha \in S\}\]

注：积拓扑不依赖于基$\mathcal{B}_\alpha$的选取，只要它生成$X_\alpha$上的拓扑$\mathcal{T}_\alpha$。

推论：如果使用积拓扑那么，universal property of Cartesian products 对连续映射成立。

命题 [积拓扑的收敛]

积拓扑的收敛是逐点收敛 (pointwise convergence topology)。 因此，我们也称积拓扑为点态收敛拓扑。

定义 [无交并拓扑]

在$\sqcup_{\alpha\in S}X_\alpha$上定义无交并拓扑为：$\sqcup_{\alpha\in S}U_\alpha$是$\sqcup_{\alpha\in S}X_\alpha$的开集$\Longleftrightarrow$对任意$\alpha\in S$，$U_\alpha$在$X_\alpha$中是开集。

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