Topology 拓扑群

本文档研究拓扑群这一重要的数学结构，即群结构和拓扑结构的有机结合。群运算（乘法和求逆）与拓扑结构相容，使得代数方法和拓扑方法可以相互配合。我们介绍经典的矩阵群（$GL_n$、$SL_n$、$O(n)$、$SO(n)$、$U(n)$）以及Homeo群，它们在几何、表示论和物理中有广泛应用。最后讨论群作用理论，通过轨道空间商构造实射影空间和复射影空间等重要例子。

前置知识：群论基础、拓扑空间、商空间 核心思想：代数结构（群）与拓扑结构的和谐统一，通过群作用研究空间的对称性和分类问题

拓扑群

拓扑群的例子

定义 [拓扑群]

拓扑群是一个拓扑空间$G$，同时$G$是一个群，且群运算和拓扑结构相容，即群运算和求逆运算是连续映射。即，对于任意$x,y\in G$，定义映射$\mu:G\times G\rightarrow G$为$\mu(x,y)=x\cdot y$，映射$\iota:G\rightarrow G$为$\iota(x)=x^{-1}$，则$\mu$和$\iota$是连续映射。

例 [拓扑群]

  1. $\mathbb{R}$是拓扑群，其中拓扑结构为实数的标准拓扑，群运算为加法。
  2. $S^1$是拓扑群，其中拓扑结构为$S^1$的子空间拓扑，群运算为$S^1$的乘法。
  3. （一般线性群）$GL_n(\mathbb{R})$是拓扑群，其中拓扑结构为$GL_n(\mathbb{R})$的子空间拓扑，群运算为矩阵乘法。
  4. （特殊线性群）$SL_n(\mathbb{R}):=\{A \in M_n(\mathbb{R}): \det (A) = 1\}$
  5. （正交群 orthogonal group）$O(n):=\{A\in GL_n(\mathbb{R}): A A^T = I\}$
  6. （特殊正交群 special orthogonal group）$SO(n):=\{A\in GL_n(\mathbb{R}): A A^T = I, \det(A)=1\}$
  7. （酉群 unitary group） $U(n):=\{A \in GL_n(\mathbb{C}):AA^* = I\}$

注

以上的拓扑群的例子都是李群（Lie group）。即，拓扑群同时是光滑流形，群运算和求逆运算是光滑映射。

例

\(\mathbf{Top} (n):=\\{\textrm{homeomorphisms on } \mathbb{R}^n\\}\) 是一个拓扑群，群运算为复合映射。拓扑群的拓扑结构为紧开拓扑结构。这是拓扑群但不是李群。

定义

令$X$为拓扑空间。定义$\mathrm{Homeo}(X):=\{\textrm{homeomorphisms on } X\}$。$\mathrm{Homeo}(X)$是一个群，群运算为复合映射。群结构和紧开拓扑结构相容。

定义

$\mathrm{Homeo}_0(X)$定义为$\mathrm{Homeo}(X)$的子群，包含包含单位元$Id_X$的一个道路连通分支。

定理 [Thurston]

若$X$是流形，则$\mathrm{Homeo}_0(X)$是简单群。

定理 [Edward-Kirby]

若$X$为紧流形，则$\mathrm{Homeo}(X)$是局部道路连通的。

群作用在拓扑空间上

定义 [群作用]

令$G$为群，$X$为拓扑空间。定义$G$在$X$上的群作用为映射$\phi:G\times X\rightarrow X$，满足如下条件：

  1. 对任意$x\in X$，$\phi(e,x)=x$，其中$e$为$G$的单位元。
  2. 对任意$g,h\in G$，$x\in X$，$\phi(g,\phi(h,x))=\phi(gh,x)$。

定义 [共轭]

给定在$X$上$G$的两个群作用$\rho,\rho’$，我们称$\rho$和$\rho’$是共轭的，若存在$X$上的同胚映射$f$，使得对任意$g\in G$如下图表交换：

例

矩阵群$GL_n(\mathbb{R})$作用在$\mathbb{R}^n$上 \(A\cdot x:= Ax\) 是一个群作用。

定义 [传递 (transitive)，忠实 (faithful)，自由 (free)]

给定在$X$上$G$的群作用$\rho$。

  1. 我们称$\rho$是传递的，若对任意$x,y\in X$，存在$g\in G$使得$\rho(g,x)=y$。
  2. 我们称$\rho$是忠实的，若对任意$g\in G$，$\rho(g,x)=x$当且仅当$g=e$。
  3. 我们称$\rho$是自由的，$\rho(g,x)=x \textrm{ for some} x \in X\Rightarrow$ $g=e$。

定义 [轨道，轨道空间]

给定在$X$上$G$的群作用$\rho$。对于$x\in X$，定义$x$的轨道为$\rho(G,x)=\{g\cdot x:g\in G\}$。 如果定义等价关系$x\sim_G y$当且仅当$y\in \rho(G,x)\Leftrightarrow y =gx \text{ for some } g\in G$，则我们可以 定义轨道空间为$X/G:=X/\sim_G=\{\rho(G,x):x\in X\}$。

例 [real projective space $\mathbb{R} P^n$]

考虑自由作用$\mathbb{Z}/2$作用在$S^n$上，由$1\cdot x:=-x$给出。这个作用称为反射作用。那么 \(S^n/(\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{R} P^n\) 或者我们考虑$\mathbb{R}^*$作用在$\mathbb{R}^n$上，由$t\cdot x:=tx$给出。那么 \(\mathbb{R}^n/\mathbb{R}^*\cong \mathbb{R} P^{n-1}\)

例 [complex projective space $\mathbb{C} P^n$]

考虑$\mathbb{C}^*$作用在$\mathbb{C}^n$上，由$t\cdot x:=tx$给出。那么 \(\mathbb{C}^n/\mathbb{C}^*\cong \mathbb{C} P^{n-1}\)

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Written on January 5, 2026