Topology 拓扑空间和连续映射

本文档系统建立拓扑空间的基本理论框架。首先定义拓扑空间及其基本结构（开集、闭集、基、子空间拓扑），然后研究连续映射的多种等价刻画。深入讨论邻域、内部、闭包、边界等基本概念，并系统介绍可数性公理（第一可数、第二可数、可分、Lindelof）和分离公理（T1-T4）。最后给出Urysohn度量化定理，展示拓扑空间与度量空间的联系。

前置知识：集合论基础、实数理论 核心思想：通过开集系统定义空间的”接近”概念，将连续性从欧氏空间推广到抽象空间，建立拓扑学的基本语言

拓扑空间和连续映射

定义 [拓扑空间]

令$X$为一个集合。$X$上的拓扑$\mathcal{T}$是$P(X)$的一个子集满足如下三个公理：

  1. $\emptyset \in \mathcal{T}$ 并且$X\in\mathcal{T}$
  2. 对于任意$U,V\in \mathcal{T}$，都有$U\cap V\in\mathcal{T}$
  3. 对于任意$S\subset \mathcal{T}$，都有$\bigcup_{U\in \mathcal{S}}U\in\mathcal{T}$

定义 [子空间拓扑]

给定拓扑空间$(X,\mathcal{T})$和子集$Y\subset X$，那么定义 \(\mathcal{T}_Y := \\{ U\cap Y : U\subset \mathcal{T}\\}\) 为$Y$的子空间拓扑。 我们称$(Y,\mathcal{T}_Y)$为$(X,\mathcal{T}_X)$的子空间 (subspace)。

定义 [拓扑基]

令$X$为拓扑空间，$\mathcal{B}\subset P(X)$为拓扑基，若

  1. 对任意$x\in X$，存在$U\subset \mathcal{B}$使得$x\in U$。
  2. 对任意$U,V\in \mathcal{B}$，存在$W\in \mathcal{B}$使得$x\in W$且$W\subset U\cap V$

定义 [拓扑基导出拓扑]

令$X$为拓扑空间，$\mathcal{B}$为拓扑基。定义 \(\mathcal{T}_{\mathcal{B}} = \\{U\in P(X):U=\bigcup_{V\in \mathcal{S}}V, \mathcal{S}\subset \mathcal{B}\\}\) 为$\mathcal{B}$导出的拓扑。

定义 [连续函数]

如果$\forall U\in \mathcal{T}_Y,f^{-1}(U)\in \mathcal{T}_X$，那么$f:X\rightarrow Y$连续。

命题 [连续判定]

令$f:X\rightarrow Y$为拓扑空间$X,Y$之间的映射，令$\mathcal{B}$为$Y$的拓扑基。如下等价：

  1. $f$连续
  2. 对任意基元素$U\in \mathcal{B}$，集合$f^{-1}(U)$是开集
  3. 对任意$A\in X$，都有$f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}$
  4. 对任意闭子集$V\subset Y$，$f^{-1}(V)$在$X$中是闭集。
  5. 对任意$x\in X$和任意$f(x)$的邻域$V$，存在$x$的邻域$U$使得$f(U)\subset V$

令$A$为拓扑空间$X$的子集。

定义 [邻域]

$A$的邻域是$X$的开集$U$使得$A\subset U$。

定义 [内点]

$x$为$A$的内点当且仅当存在$A$的邻域$U$使得$x\in U$。

定义 [内部]

$A$的内部$\mathring{A}$是$A$的所有内点的集合。

定义 [闭包]

$x\in X$在$A$的闭包$\overline{A}$中当且仅当对任意$A$的邻域$U$，$U\cap A\neq \emptyset$。

定义 [边界点]

$\partial{A} = \overline{A}-\mathring{A}$

定义 [极限点]

$x\in X$称为$A$的极限点，若$x\in\overline{A\backslash\{x\}}$

定义 [孤立点]

$x\in X$称为$A$的孤立点，若$x$是$A$的元素且$x$不是$A$的极限点。

定义 [稠密]

$A$在$X$中稠密，若$\overline{A}=X$

引理

  1. $\overline{A}=\bigcup_{A\subset V,\text{ V closed}}V$
  2. $\mathring{A}=\bigcap_{U\supset A,\text{ U open}}U$
  3. $A$ open $\Longleftrightarrow \partial A=\emptyset \Longleftrightarrow \mathring{A}=A$
  4. $A$ closed $\Longleftrightarrow A=\overline{A}$

可数性公理

定义 [第一可数]

对拓扑空间$X$，我们称$X$是第一可数的如果$\forall x\in X,\exists \{G_n\}\subset \mathcal{T}$，s.t.$x\in G_n,\forall n$并且 $\forall G\in \mathcal{T},x\in G,\exists n$，s.t. $G_n\subset G$

这样一列$G_n$称为$x$的邻域的一组拓扑基，因此第一可数可以叙述为：$X$中每一点都有拓扑基。 性质：度量空间都是第一可数的。

定义 [第二可数]

对拓扑空间$X$，我们称$X$是第二可数的如果存在一个可数的拓扑基。

定义 [可分 (separable)]

对拓扑空间$X$，我们称$X$是可分的如果存在一个可数的稠密子集。

定义 [Lindelof]

对拓扑空间$X$，我们称$X$是Lindelof的如果$X$的任意开覆盖都有可数子覆盖。

定理

  1. 第二可数$\Longrightarrow$第一可数
  2. 第二可数$\Longrightarrow$可分
  3. 第二可数$\Longrightarrow$Lindelof

Seperation Axioms

定义

令$X$为拓扑空间

  1. 称$X$满足T1公理，如果对任意两个不同点，存在一个$x$的邻域$U$使得$y\notin U$
  2. 称X满足T2公理（Hausdorff），如果对任意两个不同点$x\ne y$，存在$x$的邻域$U$以及$y$的邻域$V$使得$U\cap V=\emptyset$
  3. 称$X$满足T3公理（regular），如果对任意点$x$和闭集$V$使得$x\notin V$，存在$x$的邻域$U$和$V$的邻域$U’$使得$U\cap U’=\emptyset$
  4. 称$X$满足T4公理（normal），如果任意闭集$V,V’$使得$V\cap V’=\emptyset$，存在$V$的邻域$U$和$V’$的邻域$U’$使得$U\cap U’=\emptyset$

separation axioms

命题

如下条件等价

  1. $X$满足T1
  2. $X$中的所有单点集都是闭集
  3. $X$中的所有有限集都是闭集

命题

  1. T2 $\Longrightarrow$ T1.
  2. T4 + T1 $\Longrightarrow$ T3.
  3. T3 + T1 $\Longrightarrow$ T2.
  4. 第二可数+T3$\Longrightarrow$T4

定理

令$X$为度量空间。则$X$满足T4,T3,T2,T1。且$X$第一可数。

定理 [Urysohn metrization theorem]

任意满足T4,T1和第二可数的拓扑空间是度量空间。

下一讲 积空间和无交并空间

Written on January 5, 2026