Real Analysis 微分理论

本文档建立测度论中的微分理论。首先研究符号测度的Hahn分解和Jordan分解，证明Lebesgue分解定理。核心是Radon-Nikodym定理，给出绝对连续的充要条件——导数的存在性。然后介绍有界变差函数及其性质，证明其可以表示为两个单调增函数的差。最后建立微积分基本定理的推广形式，给出绝对连续函数的刻画，完成微分与积分的完美统一。

前置知识：积分理论、测度论 核心思想：建立微分与积分的联系，推广微积分基本定理到Lebesgue积分

1. 符号测度

定义：集函数 $\nu: \mathscr{F} \to [-\infty, \infty]$，满足：

  1. $\nu(\emptyset) = 0$
  2. 可数可加性

性质：

  • 值域不能同时有 $\infty$ 和 $-\infty$
  • 可数可加性中级数收敛则绝对收敛，发散则取 $\infty$ 且负项和有限

2. 绝对连续与相互奇异

绝对连续：$\nu \ll \mu$，如果 $\mu(E) = 0$ 则 $\nu(E) = 0$

相互奇异：$\mu \perp \nu$，如果 $\exists A \in \mathscr{F}$ 使得： \(\mu(E) = \mu(E \cap A), \quad \nu(E) = \nu(E \cap A^c), \quad \forall E \in \mathscr{F}\)

性质：

  • $\nu \ll \mu \Leftrightarrow |\nu| \ll \mu \Leftrightarrow \nu^+ \ll \mu$ 且 $\nu^- \ll \mu$
  • $\nu \perp \mu \Leftrightarrow |\mu|(A^c) = 0$ 且 $|\nu|(A) = 0$
  • 若 $\nu \ll \mu$ 且 $\nu \perp \mu$，则 $\nu \equiv 0$

3. Hahn分解定理

定理：存在不交的 $X^+, X^- \in \mathscr{F}$ 使得 $X = X^+ \sqcup X^-$，且对所有 $E \in \mathscr{F}$： \(\nu(X^+ \cap E) \geq 0 \geq \nu(X^- \cap E)\)

唯一性：在全变差测度下几乎处处唯一

证明思路：

  • 构造全非负集和全非正集
  • 利用反证法和单调性证明存在性

4. 符号测度的Jordan分解

定义：

  • $\nu^+(E) = \nu(E \cap X^+)$（正变差）
  • $\nu^-(E) = -\nu(E \cap X^-)$（负变差）
  • $|\nu|(E) = \nu^+(E) + \nu^-(E)$（全变差）

定理：$\nu = \nu^+ - \nu^-$，且 $|\nu| = \nu^+ + \nu^-$ 是有限测度

5. Radon-Nikodym定理

定理：设 $\mu$ 是 σ-有限的测度空间，$\nu$ 是其上的符号测度且 $\nu \ll \mu$，则存在在扩充意义下 $\mu$-可积的函数 $f$ 使得： \(\nu(E) = \int_E f d\mu, \quad \forall E \in \mathscr{F}\) 且 $f$ 在几乎处处相等意义下唯一

记号：$f = \frac{d\nu}{d\mu}$ 称为 Radon-Nikodym 导数

证明思路：

  1. $\mu, \nu$ 均为有限测度时，通过上确界方法构造
  2. 利用 Jordan 分解推广到符号测度
  3. 通过空间分解推广到 σ-有限情形

反例（说明 σ-有限必要）：可数余可数 σ-代数上计数测度 #

6. Radon-Nikodym导数的性质

链式法则：若 $\nu \ll \mu \ll \lambda$，则： \(\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda} \quad \text{a.e.}\)

线性性：$\frac{d(\alpha\nu_1 + \beta\nu_2)}{d\mu} = \alpha\frac{d\nu_1}{d\mu} + \beta\frac{d\nu_2}{d\mu}$ a.e.

7. Lebesgue分解定理

定理：设 $\mu$ 是 σ-有限测度，$\nu$ 是 σ-有限的符号测度，则存在唯一的分解： \(\nu = \nu_a + \nu_s\) 其中 $\nu_a \ll \mu$（绝对连续部分），$\nu_s \perp \mu$（奇异部分）

证明思路：利用 Radon-Nikodym 定理和 Hahn 分解

8. Dini导数

定义： \(D^+(F)(x) = \limsup_{h \searrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}\) \(D_+(F)(x) = \liminf_{h \searrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}\) （类似定义 $D^-, D_-$）

定理：对单调递增 $F$，Dini 导数都是可测函数

9. Riesz日出引理

定理：考虑 $E = \{x: \exists h_x > 0, G(x) < G(x+h)\}$，则：

  1. $E$ 是开集且可写成不交并 $\cup (a_k, b_k)$
  2. $G(a_k) = G(b_k)$

证明思路：利用连续函数的介值定理和紧致性论证

10. Vitali覆盖定理

对 $E \subset \mathbb{R}^d$，我们称一族球 $\mathcal{B}$ 是 $E$ 的一个 Vitali 覆盖，如果对所有的 $x \in E$ 和所有的 $\eta > 0$，都存在 $B \in \mathcal{B}$ 使得 $x \in B$ 并且 $r(B) < \eta$。

定理：设 $E \subset \mathbb{R}^d$ 满足 $m^*(E) < \infty$，$\mathcal{B}$ 是 $E$ 的 Vitali 覆盖，则对任意 $\delta > 0$，存在有限个两两不交的 $B_j \in \mathcal{B}$ 使得： \(m^*\left(E \setminus \bigcup_{j} B_j\right) < \delta\)

证明思路：

  1. 取开集 $G$ 覆盖 $E$
  2. 利用无限 Vitali 覆盖引理选择子族
  3. 利用测度的可数可加性和单调性

11. Hardy-Littlewood极大函数

定义：

\[\mathcal{M}(f)(x) = \sup_{B : x \in B} \oint_B \|f(y)\| dy\]

定理：

  1. $\mathcal{M}f$ 是 Borel 可测的
  2. $\mathcal{M}f$ 几乎处处有限
  3. 弱型不等式：$m(\{\mathcal{M}f > \alpha\}) \leq \frac{3^d |f|_{L^1}}{\alpha}$

证明思路：利用 Vitali 覆盖引理和有限覆盖引理

12. Lebesgue微分定理

一维情形：若 $f \in L^1([a,b])$，则对几乎处处的 $x$： \(\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) dt = f(x)\)

高维情形（$\mathbb{R}^d$）：对 $f \in L^1(\mathbb{R}^d)$，对几乎处处的 $x$： \(\lim_{\|B\| \to 0, x \in B} \oint_B f(y) dy = f(x)\)

证明思路：

  1. 对连续函数显然成立
  2. 用连续函数逼近
  3. 利用极大函数的弱型不等式

13. 单调函数微分定理

定理：设 $F$ 是 $[a,b]$ 上的单调递增函数，则：

  1. $F$ 几乎处处可微
  2. $F’ \in L^+([a,b])$（非负可积）
  3. $\int_a^b F’ dm \leq F(b) - F(a)$（不等式可能严格）

证明思路：

  1. 将 $F$ 分解为连续部分和跳跃部分
  2. 对连续部分利用 Riesz 日出引理和覆盖方法
  3. 对跳跃部分直接计算导数为 0

14. 有界变差函数

定义：$V_I(f) = \sup_\sigma \sum |f(a_k) - f(a_{k-1})|$，若 $V_I(f) < \infty$ 则称 $f$ 为有界变差函数

性质：

  • $BV([a,b])$ 是线性空间、代数、Banach 空间（配备 $|f|_{BV} = \sup|f| + V_I(f)$）
  • $f \in BV \Leftrightarrow f$ 是两个单调函数之差

15. Jordan分解

定理：$f \in BV([a,b])$ 当且仅当 $f$ 是一个单调递增函数和一个单调递减函数的和

证明思路：定义： \(g(x) = \frac{V_{[a,x]}(f) + f(x)}{2}, \quad h(x) = \frac{V_{[a,x]}(f) - f(x)}{2}\)

16. 绝对连续函数

定义：$F \in AC([a,b])$ 如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得只要两两不交区间 $\{(a_i, b_i)\}$ 满足 $\sum |(a_i, b_i)| < \delta$，就有： \(\sum \|F(b_i) - F(a_i)\| < \varepsilon\)

等价刻画：

  1. $f \in AC(I)$
  2. $f’$ 几乎处处存在且可积，且 $f(x) - f(a) = \int_a^x f’(t) dt$
  3. 存在 $g \in L^1([a,b])$ 使得 $f(x) = f(a) + \int_a^x g(t) dt$

包含关系：$Lip(I) \subset AC(I) \subset BV(I) \cap C_u(I)$

性质：绝对连续函数是一致连续的、有界变差的、几乎处处可导

17. 微积分基本定理

定理：假设 $F \in AC([a,b])$，则：

  1. $F$ 几乎处处可微，$F’$ 可积
  2. Newton-Leibniz 公式： \(F(b) - F(a) = \int_a^b F'(t) dt\)

逆定理：若 $F’$ 几乎处处存在且可积，且 $F(x) - F(a) = \int_a^x F’(t) dt$，则 $F \in AC([a,b])$

证明思路：

  1. $AC \subset BV$ 故 $F$ 几乎处处可微
  2. 令 $G(x) = \int_a^x F’(t) dt$，则 $G \in AC$ 且 $G’ = F’$ 几乎处处
  3. 证明 $F - G$ 为常值函数（利用引理：若 $AC$ 函数几乎处处导数为 0 则为常数）

关键引理：若 $F \in AC([a,b])$ 且 $F’ = 0$ a.e.，则 $F$ 为常值函数

18. Lebesgue分解定理（函数）

定理：若 $f \in BV \cap C([a,b])$，则 $f = f_a + f_c$，其中：

  • $f_a$ 绝对连续
  • $f_c$ 奇异连续（导数几乎处处为 0 但非常值）

若 $f$ 单调递增，不假设连续性，则 $f = f_a + f_c + f_j$，其中 $f_j$ 是跳跃函数.。 因此，任意 $f \in BV$ 都可唯一分解为$f = f_a + f_c + f_j$.

第六部分小结

微分理论体系：

符号测度 → Hahn分解 → Radon-Nikodym定理
→ Dini导数 → Riesz日出引理 → Vitali覆盖
→ 极大函数 → Lebesgue微分定理
→ 单调函数 → 有界变差 → 绝对连续
→ 微积分基本定理

关键定理（按重要性）：

  1. Radon-Nikodym 定理：测度与密度的联系
  2. 微积分基本定理：微分与积分的互逆
  3. Lebesgue 微分定理：几乎处部的微分性质
  4. Vitali 覆盖定理：覆盖引理的基础
  5. Hahn 分解定理：符号测度的分解

核心技巧：

  • 利用覆盖引理控制例外集
  • 利用极大函数进行弱型估计
  • 利用 Jordan 分解化简问题

下一步：第七部分 Hausdorff测度与维数

Written on January 8, 2026