本文档研究Hausdorff测度与维数理论，这是分形几何的数学基础。首先定义Hausdorff外测度，证明其是度量外测度，所有Borel集都可测。然后介绍Hausdorff维数的概念，研究其基本性质和计算方法。通过密度定理和面积公式建立测度的局部性质。最后分析经典分形集（如Cantor集、Koch曲线）的Hausdorff维数，展示理论在几何分析中的应用。

前置知识：测度论、微分理论 核心思想：推广测度概念到任意维数，研究分形集合的几何性质

1. Hausdorff外测度的定义

定义：对 $s \geq 0$ 和 $\delta > 0$：

其中 $\alpha(s) = \frac{\pi^{s/2}}{\Gamma(s/2 + 1)}$（归一化常数）

Hausdorff测度：$\mathcal{H}^s(E) = \lim_{\delta \to 0} \mathcal{H}_\delta^s(E)$

2. Hausdorff测度的性质

定理：

1. $\mathcal{H}^s$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的度量外测度，所有 Borel 集都可测
2. 特殊情形：
   • $\mathcal{H}^0$ 是计数测度
   • $\mathcal{H}^1$ 在 $\mathbb{R}$ 上等于 Lebesgue 测度
   • $s > n$ 时 $\mathbb{R}^n$ 上的 $\mathcal{H}^s \equiv 0$
3. 缩放性：$\mathcal{H}^s(\lambda E) = \lambda^s \mathcal{H}^s(E)$
4. 不变性：平移和正交变换不变

证明思路：利用 Carathéodory 准则和度量外测度的性质

3. Hausdorff维数

定义：$\dim_H E = \inf\{s \geq 0: \mathcal{H}^s(E) = 0\}$

临界性质：

• 若 $\mathcal{H}^s(E) < \infty$，则 $\dim_H E \leq s$
• 若 $\mathcal{H}^s(E) > 0$，则 $\dim_H E \geq s$
• 对 $0 \leq s < s’$，若 $0 < \mathcal{H}^s(E) \leq \infty$，则 $\mathcal{H}^{s’}(E) = 0$

典型例子：

• $\mathbb{R}^n$ 中非空开集的 Hausdorff 维数为 $n$
• $\mathbb{Q}$ 的 Hausdorff 维数为 0，$\mathbb{Q}^c$ 的维数为 1
• Cantor 集的 Hausdorff 维数为 $\log 2 / \log 3$.

4. $\mathbb{R}^n$ 上$n$维Hausdorff测度与Lebesgue测度的关系

定理：在 $(\mathbb{R}^n, \mathscr{B})$ 上，$\mathcal{H}^n = m_n$（Lebesgue 测度）

证明思路：

1. 利用唯一性刻画：平移不变的 Radon 测度必为 $c \cdot m_n$
2. 利用 Vitali 覆盖定理
3. 利用等直径不等式

5. Steiner对称化和等直径不等式

Steiner对称化： \(S_\omega(E) = \\{z + \tfrac{1}{2}[-\ell_z, \ell_z]: z \in \Pi_\omega E, \ell_z = m_{L(z,\omega)}(E \cap L(z,\omega))\\}\)

定理：

1. $m(S_\omega(E)) = m(E)$
2. $\text{diam}(S_\omega(E)) \leq \text{diam}(E)$

等直径不等式：$m(E) \leq \alpha(n)\left(\frac{\text{diam}(E)}{2}\right)^n$，即直径相等时球体积最大

证明思路：

1. 用 Tonelli-Fubini 定理证明测度相等
2. 利用坐标分解证明直径不增
3. 通过 $n$ 次对称化得到中心对称集，包含在球内

6. Hölder和Lipschitz映射下的Hausdorff测度

γ-Hölder连续：$d_Y(f(x), f(x’)) \leq C[d_X(x, x’)]^\gamma$

定理：

1. $\mathcal{H}^{s/\gamma}(f(A)) \leq c_s([f]_{C^{0,\gamma}})^{s/\gamma}\mathcal{H}^s(A)$
2. $\dim_H f(A) \leq \frac{1}{\gamma} \dim_H A$

推论：若 $f$ 是 Lipschitz 映射（$\gamma = 1$），则： \(\mathcal{H}^s(f(A)) \leq [f]_{\text{Lip}}^s \mathcal{H}^s(A), \quad \dim_H f(A) \leq \dim_H A\)

应用：计算 Cantor 集的 Hausdorff 维数

7. Lipschitz映射的像和图像的Hausdorff测度

定理：

1. 像的测度：$\mathcal{H}^s(f(A)) \leq [f]_{\text{Lip}}^s \mathcal{H}^s(A)$
2. 图形的测度：若 $\mathcal{H}^n(A) > 0$ 且 $f$ Lipschitz，则 $\dim_H \Gamma(f; A) = n$

证明思路：利用投影和二进方体分解

8. $\mathbb{R}^n$ 中的 $C^1$ 微分子流形的Hausdorff维数和测度

定理：设 $M = f(V) \subset \mathbb{R}^n$ 是 $k$ 维 $C^1$ 子流形，则：

1. $f(\mathscr{B}_V) = \mathscr{B}_M$（Borel 集的像仍是 Borel 集）
2. 面积公式：$\mathcal{H}^k(f(A)) = \int_A J(Df)(x) d\mathcal{H}^k(x)$ 其中 $J(Df)(x) = \sqrt{\det(Df(x)^T Df(x))}$ 是 $k$ 维体积元
3. 积分换元：$\int_{f(V)} g d\mathcal{H}^k = \int_V (g \circ f) J(Df) d\mathcal{H}^k$

证明思路：

1. 利用局部线性化引理
2. 利用面积公式的证明技巧
3. 利用极式分解和奇异值分解

9. Area公式

定理：对 $f \in \text{Lip}(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^n)$，$1 \leq d \leq n$：

其中 $J(Df(x)) = \sqrt{\det(Df(x)^T Df(x))}$ 是 Jacobian 行列式的推广

Rademacher定理：Lipschitz 函数几乎处处可微

证明思路：

1. 证明方向导数几乎处处存在
2. 证明方向导数等于 $Df(x) \cdot v$
3. 利用可数稠密集和 Lipschitz 条件

10. Co-Area公式

定理：对 $f \in \text{Lip}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^d)$，$n \geq d$：

其中 $J(Df(x)^*)$ 是 $d \times d$ 子矩阵的 Jacobian

证明思路：

1. 线性情形用 Fubini 定理
2. 一般情形用局部线性近似
3. 分解为可微点集和非可微点集讨论

应用：几何测度论、偏微分方程

第七部分小结

Hausdorff测度理论体系：

外测度定义 → Hausdorff测度 → Hausdorff维数
→ Lipschitz映射下的性质 → C¹流形
→ Area公式、Co-Area公式 → 几何应用

关键定理：

1. Hausdorff 测度的度量外测度性质
2. Hausdorff 维数的临界性
3. $\mathbb{R}^n$ 上 $\mathcal{H}^n = m_n$
4. Area 公式和 Co-Area 公式
5. 等直径不等式

核心技巧：

• 利用覆盖定义测度
• 利用缩放性估计维数
• 利用 Jacobian 计算流形测度

应用领域：

• 分形几何
• 几何测度论
• 偏微分方程
• 调和分析

下一步：第八部分 拓扑空间测度