Real Analysis 拓扑空间测度

本文档在拓扑空间上建立测度理论。首先定义Radon测度，研究其正则性质和逼近定理。通过Lusin定理建立可测函数与连续函数的联系，说明可测函数可以用连续函数逼近。核心是Riesz表示定理，建立$C_c(X)$上的正线性泛函与Radon测度的一一对应关系。最后介绍Radon测度的收敛模式（模糊收敛、弱收敛）和Prokhorov定理，为概率论和泛函分析提供工具。

前置知识：拓扑空间、测度论、函数空间 核心思想：在拓扑空间上建立测度理论，通过连续函数研究测度（Riesz表示定理）

1. Radon测度的定义

定义：拓扑空间 $X$ 上的 Borel 测度 $\mu$ 是 Radon 测度，如果：

  1. $\mu$ 在所有紧集上有限
  2. 所有 Borel 集外正则：$\mu(E) = \inf\{\mu(U): E \subset U, U \text{开}\}$
  3. 所有开集内正则：$\mu(U) = \sup\{\mu(K): K \subset U, K \text{紧}\}$

正则性：

  • 外正则：用开集从外部逼近
  • 内正则：用紧集从内部逼近

定理：对 σ-有限的 Radon 测度，所有 Borel 集都内正则

例子：紧度量空间上所有有限 Borel 测度都是正则 Radon 测度

2. Lusin定理

定理：设 $X$ 是局部紧 Hausdorff (LCH, 下面同样假设) 空间，$\mu$ 是 Radon 测度，$f$ 是 Borel 可测且支集测度有限，则 $\forall \varepsilon > 0$，存在紧集 $K$ 和 $\phi \in C_c(X)$ 使得：

  1. $K \subset \text{supp}(f)$，$\phi = f$ 在 $K$ 上成立
  2. $\mu(\{f \neq \phi\}) < \varepsilon$

直观意义：可测函数在去掉一个测度很小的集合后，可以延拓为连续函数

应用：表明在测度论中，连续函数在 $L^p$ 空间中稠密

3. $C_c(X)$ 上的正线性泛函

定义：$I: C_c(X) \to \mathbb{R}$ 是正线性泛函，如果 $f \geq 0 \Rightarrow I(f) \geq 0$

Riesz表示定理：对 $C_c(X)$ 上的正线性泛函 $\phi$，存在唯一 Radon 测度 $\mu$ 使得：

\[\phi(f) = \int_X f d\mu, \quad \forall f \in C_c(X)\]

且满足：

  • $\mu(G) = \sup\{\phi(f): f \in C_c(X), f \prec G\}$ 对开集 $G$, $f \prec G \iff 0 \le f \le 1 \& \mathrm{supp} f \subset G$
  • $\mu(K) = \inf\{\phi(f): f \in C_c(X), f \geq \mathbf{1}_K\}$ 对紧集 $K$

证明思路：

  1. 对开集定义 $\mu(G) = \sup\{\phi(f): f \in C_c(X), f \prec G\}$
  2. 推广到外测度
  3. 用 Carathéodory 准则构造 Borel 测度
  4. 验证正则性和表示公式

4. $C_0(X)$ 上的线性泛函

定义：$C_0(X) = \{f \in C(X): \forall \varepsilon > 0, \{x: |f(x)| \geq \varepsilon\} \text{紧}\}$

定理：$\phi \in (C_c(X))^*$ 是正线性泛函当且仅当 $\exists$ 有限 Radon 测度 $\mu$ 使得 $\phi = I_\mu$，且： \(\|\phi\|_{\mathcal{L}} = \mu(X)\)

5. 实Radon有号测度和Radon复测度

定义：$\nu$ 是 Radon 有号测度，如果 $|\nu|$ 是 Radon 测度（全变差有限）。我们记 $\mathcal{M}(X)$ (或为了强调取实值，记为 $\mathcal{M}(X;\mathbb{R})$) 为 $X$ 上实 Radon 有号测度的全体。

性质：

  • $\mu \in \mathcal{M}(X) \Leftrightarrow \mu(X) < \infty$（有限 Radon 测度空间）
  • 若 $\mu_1, \mu_2 \in \mathcal{M}(X)$，则 $\mu_1 \pm \mu_2 \in \mathcal{M}(X)$
  • $\nu$ 是 Radon 有号测度 $\Leftrightarrow$ $\nu$ 是两个有限 Radon 测度之差
  • $(\mathcal{M}(X), |\cdot|_{TV})$ 是 Banach 空间

全变差范数：$|\nu|_{TV} = |\nu|(X)$

6. Riesz-Kakutani-Markov表示定理

定理：$\Phi: \mathcal{M}(X) \to (C_0(X))^*$，$\nu \mapsto I_\nu$ 是等距线性同构，其中： \(I_\nu(f) = \int_X f d\nu\)

证明思路：

  1. 对 $\phi \in (C_0(X))^\ast$ 进行 Jordan 分解 $\phi = \phi^+ - \phi^-$
  2. 对正线性泛函应用 Riesz 表示定理
  3. 证明 $|I_\nu|_{\mathcal{L}} = |\nu|_{TV}$

意义：建立了连续函数空间的对偶与 Radon 测度之间的深刻联系

7. 弱收敛和弱星收敛

定义：

  • 强收敛：$f_n \to f$ 一致收敛
  • 弱收敛：$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$ 对所有 $\mu \in \mathcal{M}(X)$
  • 弱星收敛：$\int f d\mu_n \to \int f d\mu$ 对所有 $f \in C_0(X)$

关系：

  • 强收敛 $\Rightarrow$ 弱收敛
  • 在有限测度空间中，一致收敛蕴含弱星收敛

应用：概率论中的依分布收敛

第八部分小结

拓扑空间测度理论体系：

Radon测度定义 → 正则性 → Lusin定理
→ C_c(X)上的正线性泛函 → Riesz表示定理
→ C_0(X)上的线性泛函 → Riesz-Kakutani-Markov定理
→ 弱收敛理论

关键定理（按重要性）：

  1. Riesz-Kakutani-Markov 表示定理：对偶关系
  2. Riesz 表示定理（$C_c(X)$）：正线性泛函的表示
  3. Lusin 定理：可测函数的连续逼近
  4. Radon 测度的正则性

核心技巧：

  • 利用 Urysohn 引理构造检验函数
  • 利用正则性进行内外逼近
  • 利用弱收敛处理紧性问题

应用领域：

  • 调和分析
  • 概率论
  • 偏微分方程
  • 泛函分析

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Written on January 8, 2026